Question

Знайдіть екстремуми функції f(x) = 2х3 + 3х2 - 36хT​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f'(x)= 6x²+6x-36

x²+x-6=0

D= 1+24= 25

x1= (-1-5)/2= -3

x2= (-1+5)/2= 2

f(-3)=81

f(2)= -44

x=2 точка минимума, x= -3 точка максимума

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x, спочатку необхідно знайти похідну функції і розв'язати рівняння, щоб знайти значення x, де похідна дорівнює нулю. Після цього можна буде визначити, які екстремуми (мінімуми або максимуми) вони представляють.

1. Знайдемо похідну функції f(x): f'(x) = 6x^2 + 6x - 36.

2. Розв'яжемо рівняння f'(x) = 0, щоб знайти значення x: 6x^2 + 6x - 36 = 0.

Спростивши це рівняння, отримаємо: x^2 + x - 6 = 0.

3. Розв'яжемо це квадратне рівняння: (x + 3)(x - 2) = 0.

Отримуємо два значення x: x = -3 і x = 2.

4. Щоб визначити, які екстремуми вони представляють, проведемо аналіз знаків похідної f'(x) на інтервалах, утворених цими значеннями x.

4.1. Розглянемо інтервал (-∞, -3): Обернемо увагу, що похідна f'(x) є параболою з позитивними коефіцієнтами при старших степенях, тобто відкрита додатньою стороною. Отже, на цьому інтервалі похідна завжди позитивна і не має нульових точок.

4.2. Розглянемо інтервал (-3, 2): На цьому інтервалі похідна може бути негативною або позитивною, залежно від значення x. Перевіримо знак похідної при x = 0: f'(0) = 6(0)^2 + 6(0) - 36 = -36. Оскільки f'(0) < 0, то на цьому інтервалі похідна є негативною і мається точка екстремуму.

4.3. Розглянемо інтервал (2, +∞): На цьому інтервалі похідна може бути негативною або позитивною, залежно від значення x. Перевіримо знак похідної при x = 3: f'(3) = 6(3)^2 + 6(3) - 36 = 54. Оскільки f'(3) > 0, то на цьому інтервалі похідна є позитивною і мається точка екстремуму.

5. Підсумовуючи отриману інформацію, маємо:

• Функція f(x) має мінімум на інтервалі (-3, 2), де x = 0.
• Функція f(x) має максимум на інтервалі (2, +∞), де x = 3.

Таким чином, мінімум функції рівний f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 36(0) = 0, а максимум функції рівний f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 36(3) = -9.