Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 1/4 x^4+2x^2-7/4 на отрезке [-1;2]

Answer 1

Ответ:находим производную y↓=x³+4x

x³+4x=0

x(x²-4)=0

x=0  или  x²-4=0 ⇒x²=4.   x=2 b x= -2

находим значение функции в этих точках и на концах данного отрезка f(-1)=0.5   f(0)= -1.75  min     f(2)=7.25 max

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = 1/4 x^4 + 2x^2 - 7/4 на отрезке [-1; 2] можно использовать метод дифференциального исчисления. Сначала найдем производную функции и точки, где она равна нулю (критические точки), затем анализируем значения функции в этих точках и на концах интервала.

1. Найдем производную функции f(x): f(x) = 1/4 x^4 + 2x^2 - 7/4 f'(x) = x^3 + 4x

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю: x^3 + 4x = 0 x(x^2 + 4) = 0

   Из этого уравнения получаем две критические точки: x = 0 и x = ±2.

3. Теперь анализируем значения функции в найденных критических точках и на концах интервала [-1; 2]:

   a. В x = -1: f(-1) = 1/4 (-1)^4 + 2(-1)^2 - 7/4 = 1/4 - 2 - 7/4 = -15/4

   b. В x = 0: f(0) = 1/4 (0)^4 + 2(0)^2 - 7/4 = 0 - 0 - 7/4 = -7/4

   c. В x = 2: f(2) = 1/4 (2)^4 + 2(2)^2 - 7/4 = 16/4 + 8 - 7/4 = 25/4

   d. В x = -2: f(-2) = 1/4 (-2)^4 + 2(-2)^2 - 7/4 = 16/4 + 8 - 7/4 = 17/4

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале [-1; 2] равно 25/4 (6.25), и оно достигается при x = 2. Наименьшее значение функции равно -15/4 (-3.75), и оно достигается при x = -1.