Question

20 БАЛЛОВ исследовать на монотонность и экстремумы функции y = x^2+4x-7. Напишите на листе бумаги полностью открытый ответ​​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f(x)=x²+4x-7.

Экстремумы функции - точки, где f'(x)=0.

f'(x)=2x+4=0; 2x=-4; x=-2;

f(-2)=(-2)²+4(-2)-7=4-8-7=-11.

Функция возрастает, если f'(x)>0, 2x+4>0, 2x>-4, x>-2.

Функция убывает, если f'(x)<0, 2x+4<0, 2x<-4, x<-2.

Функция возрастает при x∈(-2; +∞), убывает при x∈(-∞;-2).

Answer 2

Конечно, я помогу вам исследовать монотонность и экстремумы функции $y = x^2 + 4x - 7$. Для этого нам потребуется проанализировать производные функции и использовать теорию.

1. Начнем с вычисления первой производной функции $y = x^2 + 4x - 7$: $y' = \frac{d}{dx} (x^2 + 4x - 7) = 2x + 4.$

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю: $2x + 4 = 0.$ $2x = -4.$ $x = -2.$

Таким образом, когда $x = -2$, у функции может быть экстремум.

3. Теперь проанализируем знак производной в интервалах:

   • При $x < -2$, производная $2x + 4$ отрицательна. Это означает, что функция убывает на этом интервале.
   • При $x > -2$, производная $2x + 4$ положительна. Это означает, что функция возрастает на этом интервале.

4. Исследуем наличие экстремума при $x = -2$:

   • Для этого используем вторую производную: $y'' = \frac{d^2}{dx^2} (x^2 + 4x - 7) = 2$.
   • Поскольку $y''$ положительная константа, это указывает на то, что точка $x = -2$ является минимумом функции.

Итак, исследование функции $y = x^2 + 4x - 7$ на монотонность и экстремумы позволяет сделать следующие выводы:

• Функция убывает на интервале $(-\infty, -2)$.
• Функция имеет локальный минимум при $x = -2$.
• Функция возрастает на интервале $(-2, +\infty)$.

Этот анализ говорит о том, как функция изменяется на разных интервалах и о наличии локального минимума.