Question

исследовать на монотонность и экстремумы функции y = x^2+4x-7. Напишите на листе бумаги полностью открытый ответ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f(x)=x²+4x-7.

Экстремумы функции - точки, где f'(x)=0.

f'(x)=2x+4=0; 2x=-4; x=-2;

f(-2)=(-2)²+4(-2)-7=4-8-7=-11.

Функция возрастает, если f'(x)>0, 2x+4>0, 2x>-4, x>-2.

Функция убывает, если f'(x)<0, 2x+4<0, 2x<-4, x<-2.

Функция возрастает при x∈(-2; +∞), убывает при x∈(-∞;-2).

Answer 2

Для исследования функции на монотонность и экстремумы, мы должны проанализировать её производную. Первая производная функции $y = x^2 + 4x - 7$ будет показывать нам, где функция возрастает и убывает, а также места экстремумов.

Для начала, найдём первую производную функции $y$: $y' = 2x + 4$

Чтобы найти места, где функция $y$ возрастает или убывает, решим уравнение $y' = 0$: $2x + 4 = 0$ $2x = -4$ $x = -2$

Таким образом, у нас есть единственная стационарная точка при $x = -2$.

Теперь проанализируем знаки производной $y'$ в разных интервалах:

1. Когда $x < -2$: Подставим $x = -3$ (любое значение меньше -2) в $y'$: $2(-3) + 4 = -2$ Получаем, что $y' < 0$. Таким образом, на этом интервале функция убывает.

2. Когда $-2 < x$: Подставим $x = 0$ (любое значение больше -2) в $y'$: $2(0) + 4 = 4$ Получаем, что $y' > 0$. Таким образом, на этом интервале функция возрастает.

Итак, мы можем сделать следующие выводы:

• Функция $y = x^2 + 4x - 7$ возрастает на интервале $-2 < x$ и убывает на интервале $x < -2$.
• Единственная стационарная точка находится при $x = -2$.

Для определения типа экстремума в точке $x = -2$, можно проанализировать вторую производную:

$y'' = 2$

Так как $y''$ является положительным константным значением, то в точке $x = -2$ у функции есть минимум.

Таким образом, функция $y = x^2 + 4x - 7$ имеет минимум в точке $(-2, -11)$.

Это полный ответ, основанный на исследовании функции $y = x^2 + 4x - 7$ на монотонность и экстремумы.