Question

Решите уравнение логарифм ( 2 косинус в квадрате х + 3 косинус х - 1) по основанию 7= 0

Answer 1

log7(2cos²x + 3cos x - 1) = 0

log7(2cos²x+3cosx-1) = log7(1)

2cos²x+3cosx-1 = 1

2cos²x+3cosx-2 = 0

cos²x+3/2cos x - 1 = 0

Теорема Виета:

{cos x1 + cos x2 = -3/2

{cosx1•cosx2 = -1

cos x1 = -2

cos x2 = 1/2

1)cos x = -2

∅, min(cos x) = -1

2)cos x = 1/2

x = ±π/3 + 2πk, k€Z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

$$\log_7(2\cos^2 x + 3\cos x - 1) = 0.$$

Первым шагом мы можем избавиться от логарифма, применив определение логарифма по базе:

$$2\cos^2 x + 3\cos x - 1 = 7^0 = 1.$$

Теперь наше уравнение стало квадратным относительно переменной $\cos x$:

$$2\cos^2 x + 3\cos x - 1 = 1.$$

Упростим его:

$$2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0.$$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью стандартных методов. Мы можем использовать дискриминант, чтобы найти корни:

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни можно найти, используя формулу корней квадратного уравнения:

$$\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляя значения $a = 2$, $b = 3$, $D = 25$:

$$\cos x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}.$$

Это дает нам два корня:

1. $\cos x = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.
2. $\cos x = \frac{-3 - 5}{4} = -2 \Rightarrow$ такой $\cos x$ не существует в диапазоне действительных чисел.

Итак, решение уравнения $\log_7(2\cos^2 x + 3\cos x - 1) = 0$ в действительных числах:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,$$

где $n$ - целое число.