Question

НАЙДИТЕ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЯ: √-2x^2+5x+2

Answer 1

НАЙДИТЕ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЯ :

√( -2x² + 5x + 2 )

"решение " :   -2x² + 5x + 2  ≥0  ⇔ 2x² -  5x - 2 ≤ 0

* * * ax²+bx+c =a(x - x₁ )(x - x₂ )  * * *

2x² -  5x - 2 =0     D = 5² -4*2*(-2) =25 +16 =41  >0

x₁,₂  = (5±√41) /(2*2)

x₁  = (5 - √41) / 4

x₂ =5 + √41) / 4

2x² -  5x - 2 = 2( x - x₁ )(x - x ₂) = 2( x - (5 - √41) / 4 )( x - (5 +√41) / 4 )

- - -

2( x -(5 -√41) / 4 )( x - (5 +√41) / 4 ) ≤ 0⇔( x - (5 - 41) / 4 )( x - (5 +√41) / 4 ) ≤0

⇒ (5 - 41) / 4 ≤  x  ≤ (5 + 41) / 4  

Ответ :  x ∈ [  (5 - 41) / 4  ; (5 + 41) / 4 ]

Answer 2

Чтобы найти область определения выражения √(-2x^2 + 5x + 2), мы должны определить, для каких значений переменной x выражение под знаком корня остается действительным (неотрицательным).

Выражение под знаком корня (-2x^2 + 5x + 2) должно быть неотрицательным:

-2x^2 + 5x + 2 ≥ 0

Для решения этого неравенства мы можем использовать метод интервалов и тестирования знаков. Сначала найдем корни квадратного трехчлена -2x^2 + 5x + 2:

-2x^2 + 5x + 2 = 0

Для решения этого уравнения, можно воспользоваться квадратным уравнением или графическим методом. Корни этого уравнения дают точки, которые разделяют вещественную прямую на интервалы. Затем можно выбрать точки внутри каждого интервала и проверить знак выражения -2x^2 + 5x + 2.

Решая уравнение, можно найти два корня: x ≈ -0.5 и x ≈ 2.

Теперь, возьмем тестовые точки в каждом интервале и проверим знак выражения:

1. Возьмем x = 0: -2(0)^2 + 5(0) + 2 = 2 > 0
2. Возьмем x = 1: -2(1)^2 + 5(1) + 2 = 5 > 0
3. Возьмем x = -1: -2(-1)^2 + 5(-1) + 2 = 1 > 0
4. Возьмем x = 3: -2(3)^2 + 5(3) + 2 = -13 < 0

Исходя из этой проверки, выражение -2x^2 + 5x + 2 положительно на интервалах (-∞, -0.5) и (2, +∞), и отрицательно на интервале (-0.5, 2).

Следовательно, областью определения выражения √(-2x^2 + 5x + 2) является объединение интервалов (-∞, -0.5) и (2, +∞).