Question

Упростить выражение (sin 2α + 3cos 2α )² + (cos2α - 3 sin 2α)².

Answer 1

Ответ:

(sin2α + 3cos2α)² + (cos2α - 3sin2α)² = sin² 2α + 6sin2αcos2α + 9cos² 2α + cos² 2α - 6sin2αcos2α + 9sin² 2α = 1 + 9cos² 2α + 9sin² 2α = 1 + 9(cos² 2α + sin² 2α) = 1 + 9 = 10

Answer 2

Давайте посчитаем это выражение по шагам:

Выражение: $(\sin^2 2\alpha + 3\cos^2 2\alpha) + (\cos^2 2\alpha - 3\sin^2 2\alpha)$

Раскроем скобки и упростим:

$\sin^2 2\alpha + 3\cos^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha - 3\sin^2 2\alpha$

Теперь сгруппируем по типам членов:

$(\sin^2 2\alpha - 3\sin^2 2\alpha) + (3\cos^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha)$

$-2\sin^2 2\alpha + 4\cos^2 2\alpha$

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:

$-2(1 - \cos^2 2\alpha) + 4\cos^2 2\alpha$

$-2 + 2\cos^2 2\alpha + 4\cos^2 2\alpha$

Теперь объединим члены:

$2\cos^2 2\alpha + 4\cos^2 2\alpha - 2$

$6\cos^2 2\alpha - 2$

Итак, упрощенное выражение: $6\cos^2 2\alpha - 2$.