Question

Окружность с центром О и радиусом r вписана в разносторонний треугольник АВС. Проведены перпендикуляры: OD – к стороне BC, OF – к стороне AC. Укажите номер верного равенства. 1. ∠COD=∠COF 2. CD=BD 3. ∠FOD=∠DCF 4. AO=OC

Answer 1

1

Тк BC и AC являются касательными по отношению к окружности => образуют углы в 90°

Answer 2

Номер верного равенства: 3. ∠FOD = ∠DCF.

Для доказательства этого равенства, рассмотрим следующие факты:

1. Вписанная окружность ортогональна радиусам, проведенным в точках касания. То есть, OD и OF являются ортогональными радиусами в точках касания на сторонах BC и AC соответственно.

2. В треугольнике AOD прямой угол COD равен 90 градусам, так как OD - радиус вписанной окружности, проведенный к стороне BC, является перпендикуляром к этой стороне.

3. Аналогично, в треугольнике AOF прямой угол COF также равен 90 градусам.

4. Из пункта 1 следует, что радиусы OD и OF равны между собой, так как они являются радиусами одной и той же окружности.

5. Из пунктов 2 и 3 следует, что треугольники AOD и AOF являются прямоугольными треугольниками с общим углом O и равными ортогональными углами COD и COF.

6. Таким образом, угол FOD в треугольнике AOD равен углу DCF в треугольнике ACF. Это доказывает равенство ∠FOD = ∠DCF.

Поэтому, номер верного равенства - 3. ∠FOD = ∠DCF.