Question

первый член арифметической прогрессии равен 2. при каком значении разности прогрессии произведение ее пятого и седьмого членов имеет наименьшее значение ?

Answer 1

Ответ: В рекурентной форме пятый член арифметической прогресси выглядит как: a5=a1+4d=2, выразим а1: a1=2-4d

Теперь в рекурентной форме выразим a4, a7, a8:

a4=a1+3d; a7=a1+6d; a8=a1+7d

Составим всевозможные попарные произведения этих членов прогрессии:

1) a4*a7=(a1+3d)(a1+6d)=(2-4d+3d)(2-4d+6d)=(2-d)(2+2d)=-2d^2+2d+4

2)a4*a8=(a1+3d)(a1+7d)=(2-4d+3d)(2-4d+7d)=(2-d)(2+3d)=-3d^2+4d+4  

Answer 2

Давайте рассмотрим арифметическую прогрессию. Пусть первый член равен $a_1 = 2$, а разность между членами равна $d$. Тогда $n$-ый член арифметической прогрессии будет иметь вид:

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$

Мы хотим найти такое значение $d$, при котором произведение пятого и седьмого членов прогрессии будет иметь наименьшее значение. То есть, нам нужно минимизировать выражение:

$P = a_5 \cdot a_7$

Подставим выражение для $a_n$ в это выражение:

$P = (a_1 + 4d) \cdot (a_1 + 6d)$

Умножим два двучлена, чтобы получить квадратичное выражение:

$P = a_1^2 + 10a_1d + 24d^2$

Подставим $a_1 = 2$:

$P = 4 + 20d + 24d^2$

Теперь мы хотим найти такое значение $d$, при котором это выражение будет минимальным. Для этого найдем минимум квадратичной функции. Выразим производную $P$ по $d$ и приравняем к нулю:

$\frac{dP}{dd} = 20 + 48d = 0$

Отсюда получаем:

$d = -\frac{20}{48} = -\frac{5}{12}$

Поскольку разность между членами прогрессии не может быть отрицательной, возьмем абсолютное значение:

$d = \frac{5}{12}$

Таким образом, при разности прогрессии $d = \frac{5}{12}$ произведение её пятого и седьмого членов будет иметь наименьшее значение.