Question

Решите уравнение (cos6x)^2+2(sin3x)^2-3=0

Answer 1

Ответ:

Решите триг. уравнение.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

Уравнение: $(\cos^6x)^2 + 2(\sin^3x)^2 - 3 = 0$

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для преобразования данного уравнения. Вначале заметим, что $\cos^6x = (\cos^2x)^3$ и $\sin^3x = (\sin x)^3$. Давайте заменим их в уравнении:

$(\cos^2x)^6 + 2(\sin x)^6 - 3 = 0$

Теперь воспользуемся тождеством $\cos^2x + \sin^2x = 1$, чтобы выразить $\cos^2x$ через $\sin^2x$:

$\cos^2x = 1 - \sin^2x$

Подставляем это обратно в уравнение:

$(1 - \sin^2x)^3 + 2(\sin x)^6 - 3 = 0$

Раскроем куб:

$1 - 3\sin^2x + 3\sin^4x - \sin^6x + 2(\sin x)^6 - 3 = 0$

Теперь сгруппируем члены с $\sin^6x$:

$-\sin^6x + 2(\sin x)^6 + 3\sin^4x - 3\sin^2x - 2 = 0$

Теперь факторизуем по $\sin^2x$:

$\sin^2x(-\sin^4x + 2\sin^4x + 3\sin^2x - 3) - 2 = 0$

$\sin^2x(3\sin^4x + 3\sin^2x - 3) - 2 = 0$

$\sin^2x(3\sin^2x(\sin^2x + 1) - 3) - 2 = 0$

$\sin^2x(3\sin^2x(\sin^2x + 1) - 3) - 2 = 0$

$\sin^2x(3\sin^4x + 3\sin^2x - 3) - 2 = 0$

Теперь мы видим, что у нас есть квадрат в скобках:

$\sin^2x(3\sin^2x - 1)(\sin^2x + 1) - 2 = 0$

Теперь решим уравнение:

1. $\sin^2x = 0$: это дает нам решение $\sin x = 0$, а значит, $x = k\pi$, где $k$ - целое число.

2. $3\sin^2x - 1 = 0$: это дает нам $\sin^2x = \frac{1}{3}$, а значит, $\sin x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$. Соответствующие значения $x$ будут $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$