Question

Решите неравенство х^2+4х-2<=0 и найдите сумму целых его решений, принадлежащих отрезку [-3;1]

Answer 1

1) Разложим трехчлен ($x^{2} +4x-2$) на множители, для этого решим уравнение:

$x^{2} +4x-2=0$

$D=16-4*1*(-2)=24=(2\sqrt{6})^2$

$x_1=\frac{-4-2\sqrt{6}}{2}=-2-\sqrt{6}$ ;        $x_1=-2-\sqrt{6}$

$x_2=\frac{-4+2\sqrt{6}}{2}=-2+\sqrt{6}$ ;       $x_2=-2+\sqrt{6}$

2) $x^{2} +4x-2=(x+2-\sqrt{6})*(x+2+\sqrt{6})$

3) Решаем неравенство:

   $x^{2} +4x-2\leq 0$

  $(x+2-\sqrt{6})*(x+2+\sqrt{6}) \leq 0$

     $-2-\sqrt{6}$ ≈  $-4,4$  

    $-2+\sqrt{6}$  ≈   $0,4$  

             +                                           -                                 +              

_______________$-4,4$_________________$0,4$__________

 $x$  ∈  {$-4,4;0,4$]

4) Общим решением с отрезком  [-3;1] будет решение:

   $x$ ∈  [-3;  0,4]

5) Целыe решения, принадлежащие отрезку [-3;  0,4] таковы:

   -3;  -2;  -1;  0

6) Находим их сумму:

   (-3) + (-2) + (-1) + 0 = - 6

Ответ: -6

Answer 2

Для решения данного квадратного неравенства, начнем с нахождения его корней. Уравнение х^2 + 4х - 2 = 0 можно решить с помощью квадратного трехчлена, используя формулу дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac где a = 1, b = 4 и c = -2.

D = 4^2 - 4(1)(-2) = 16 + 8 = 24.

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня, которые можно найти, используя формулу:

x = (-b ± √D) / 2a.

x₁ = (-4 + √24) / (2 * 1) ≈ -1.46, x₂ = (-4 - √24) / (2 * 1) ≈ -2.54.

Теперь определим, какие из корней удовлетворяют исходному неравенству х^2 + 4х - 2 ≤ 0.

Для этого построим таблицу знаков:

scssCopy code
   x           х^2 + 4х - 2
---------     ---------------
   -3               -7       (отрицательно)
   -2               -6       (отрицательно)
   -1               -3       (отрицательно)
    0               -2       (отрицательно)
    1                3       (положительно)

Из таблицы видно, что уравнение х^2 + 4х - 2 ≤ 0 выполняется на отрезке [-2.54; -1.46]. Таким образом, целые решения этого неравенства, принадлежащие отрезку [-3; 1], это -2 и -1. Сумма этих целых решений равна -2 + (-1) = -3.