Question

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f(x)=x^2+4/x^2-4

Answer 1

Ответ:

$f(x)=\dfrac{x^2+4}{x^2-4}\\\\\\f'(x)=\dfrac{2x(x^2-4)-2x(x^2+4)}{(x^2-4)^2}=\dfrac{-16x}{(x-2)^2(x+2)^2}=0\; \; ,\; \; x=0\\\\x\ne -2\; ,\; \; x\ne 2\\\\znaki\; f'(x):\; \; \; +++(-2)+++(0)---(2)---\\\\f(x)\; \nearrow \; \; pri\; \; x\in (-\infty ;-2)\; \; i\; \; x\in (-2;0)\\\\f(x)\searrow \; \; pri\; \; x\in (0;2)\; \; i\; \; x\in (2;+\infty )\\\\x_{max}=0\; ,\; \; f_{max}=f(0)=-1$

Answer 2

Давайте начнем с анализа функции $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$:

1. Найдем область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x^2 - 4 \neq 0$. Это означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

2. Разложим функцию на части: $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} = \frac{x^2}{x^2 - 4} + \frac{4}{x^2 - 4} = 1 + \frac{4}{x^2 - 4}$.

3. Проведем анализ промежутков возрастания и убывания функции:

   Для этого найдем производную функции: $f'(x) = 0 + \frac{d}{dx} \left( \frac{4}{x^2 - 4} \right)$.

   Найдем производную $\frac{4}{x^2 - 4}$: $\frac{d}{dx} \left( \frac{4}{x^2 - 4} \right) = \frac{-8x}{(x^2 - 4)^2}$.

   Теперь найдем точки, где производная равна нулю: $\frac{-8x}{(x^2 - 4)^2} = 0$.

   Очевидно, что это равенство не имеет решений, так как числитель никогда не равен нулю.

   Таким образом, у функции $f(x)$ нет точек экстремума.

4. Анализ промежутков возрастания и убывания:

   Теперь посмотрим, когда функция $f(x)$ возрастает и убывает. Возьмем произвольные точки в каждом из интервалов:

   • $x < -2$ (например, $x = -3$): $f(-3) = 1 + \frac{4}{9 - 4} = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$.
   • $-2 < x < 2$ (например, $x = 0$): $f(0) = 1 + \frac{4}{0 - 4} = 1 - 1 = 0$.
   • $x > 2$ (например, $x = 3$): $f(3) = 1 + \frac{4}{9 - 4} = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$.

   Таким образом, функция возрастает на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(2, \infty)$ и убывает на интервале $(-2, 2)$.

В итоге, промежутки возрастания функции $f(x)$ - это $(-\infty, -2)$ и $(2, \infty)$, промежуток убывания - это $(-2, 2)$, и у функции нет точек экстремума.