Question

Обчислити інтеграл 2 ∫ ( √x+1)² dx 1

Answer 1

Ответ:

∫ ( √x+1)² dx

∫ x+1dx

∫ xdx+ ∫1dx

$\frac{x^{2} }{2} +x$

$\frac{x^{2} }{2}+x+C$, C∈R

Answer 2

Щоб обчислити даний інтеграл, спочатку розкриємо квадрат виразу √(x+1)². Отримаємо:

(√(x+1))² = (x + 1).

Тепер можемо записати початковий інтеграл у вигляді:

2 ∫ ( √x+1)² dx = 2 ∫ (x + 1) dx.

Здійснимо інтегрування за правилом лінійності:

2 ∫ (x + 1) dx = 2 ∫ x dx + 2 ∫ 1 dx.

Інтегруємо кожен з членів окремо:

2 ∫ x dx = x² + C₁, де C₁ - довільна константа.

2 ∫ 1 dx = 2x + C₂, де C₂ - також довільна константа.

Загальний вигляд підінтегральної функції має вигляд:

2 ∫ (x + 1) dx = x² + C₁ + 2x + C₂.

Оскільки C₁ і C₂ є довільними константами, можемо об'єднати їх в одну константу. Нехай D = C₁ + C₂, тоді отримаємо:

2 ∫ (x + 1) dx = x² + 2x + D.

Таким чином, остаточний результат інтегрування виразу 2 ∫ ( √x+1)² dx є x² + 2x + D, де D - довільна константа.