Question

Найдите область определения функции: а) y=x²-3x+4 б) y= 6/x-2 в) y= 1/√6-3x г) y = √x²-3x-4

Answer 1

А) х€R
Б) x€R/ {0}
В) x€R
Г) x€(— бесконечности; —1] U [4; + бесконечности)

Answer 2

Чтобы найти область определения для каждой из данных функций, нужно выяснить, при каких значениях переменных функции имеют смысл.

а) Функция y = x² - 3x + 4 - является квадратичной функцией, и такая функция определена для любых действительных значений x. То есть, область определения функции а) - это множество всех действительных чисел: (-∞, +∞).

б) Функция y = 6/(x - 2) - определена при любых значениях x, кроме x = 2, так как в этом случае знаменатель становится равным нулю, что приводит к делению на ноль. Следовательно, область определения функции б) - это множество всех действительных чисел, кроме x = 2.

в) Функция y = 1/√(6 - 3x) - определена тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно (так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа или нуля). Таким образом, необходимо решить неравенство 6 - 3x ≥ 0:

6 - 3x ≥ 0 -3x ≥ -6 x ≤ 2

Область определения функции в данном случае - это множество всех действительных чисел x, которые меньше или равны 2: (-∞, 2].

г) Функция y = √(x² - 3x - 4) - определена тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно:

x² - 3x - 4 ≥ 0

Чтобы решить это неравенство, можно использовать метод интервалов или факторизацию:

x² - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)

Корни уравнения x² - 3x - 4 = 0: x = 4 и x = -1.

Исследуя знак выражения x² - 3x - 4 на интервалах, можно определить область определения:

• На интервале (-∞, -1): Выражение отрицательно.
• На интервале (-1, 4): Выражение положительно.
• На интервале (4, +∞): Выражение снова отрицательно.

Таким образом, область определения функции г) - это интервал (-1, 4].