Question

Найдите такое положительное число, что разность между утроенным квадратом этого числа и его удвоенным кубом принимает наибольшее значение

Answer 1

Ответ:

1.

Найти наибольшее значение разности.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно. Пусть это положительное число будет обозначено как $x$. Тогда разность между утроенным квадратом и удвоенным кубом этого числа можно выразить следующим образом:

$f(x) = 3x^2 - 2x^3.$

Чтобы найти максимальное значение этой функции, давайте найдем ее критические точки. Для этого нужно найти производную функции $f(x)$ и приравнять ее к нулю:

$f'(x) = 6x - 6x^2.$

Приравнивая $f'(x)$ к нулю и решая уравнение $6x - 6x^2 = 0$, получим две критические точки: $x = 0$ и $x = 1$.

Для определения, какая из этих точек является максимумом, мы можем взять вторую производную $f''(x)$ и подставить в нее найденные критические точки:

$f''(x) = 6 - 12x.$

Подставляя $x = 0$ и $x = 1$ в $f''(x)$, мы получаем:

$f''(0) = 6$ $f''(1) = -6.$

Из этих значений видно, что $f''(x)$ положительно при $x = 0$, что указывает на минимум, и отрицательно при $x = 1$, что указывает на максимум.

Таким образом, максимальное значение функции $f(x) = 3x^2 - 2x^3$ достигается при $x = 1$. Подставляя это значение, мы получаем:

$f(1) = 3(1)^2 - 2(1)^3 = 3 - 2 = 1.$

Итак, максимальное значение разности между утроенным квадратом и удвоенным кубом положительного числа равно 1, и это значение достигается при $x = 1$.