Question

Решить уравнение 8cos^2x+6cosx-5=0

Answer 1

8Cos²x + 6Cosx - 5 =0

Cosx = t ,  - 1 ≤ t ≤ 1

$8t^{2}+6t-5=0\\\\D=6^{2}-4*8*(-5)=36+160=196=14^{2}\\\\t_{1}=\frac{-6+14}{16}=\frac{1}{2}\\\\t_{2}=\frac{-6-14}{16}=-1,25$

Answer 2

Для решения данного уравнения воспользуемся квадратным трехчленом. Пусть $t = \cos x$, тогда уравнение примет вид:

$8t^2 + 6t - 5 = 0.$

Чтобы решить этот квадратный трехчлен, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac,$

где $a = 8$, $b = 6$, $c = -5$. Подставим значения в формулу дискриминанта:

$D = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 36 + 160 = 196.$

Так как дискриминант $D$ положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня.

Формула для нахождения корней квадратного трехчлена:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$

Подставим значения:

$t = \frac{-6 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 \pm 14}{16}.$

Получаем два значения для $t$:

$t_1 = \frac{-6 + 14}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2},$ $t_2 = \frac{-6 - 14}{16} = \frac{-20}{16} = -\frac{5}{4}.$

Так как $t = \cos x$, найдем значения углов, соответствующих этим значениям:

$x_1 = \arccos \left(\frac{1}{2}\right),$ $x_2 = \arccos \left(-\frac{5}{4}\right).$

Теперь найдем приближенные значения для $x_1$ и $x_2$:

$x_1 \approx 60^\circ,$ $x_2 \approx 143.13^\circ.$

Таким образом, уравнение $8\cos^2 x + 6\cos x - 5 = 0$ имеет два решения: $x_1 \approx 60^\circ$ и $x_2 \approx 143.13^\circ$.