Question

При якому значенні x числа x-2, x+1 і 5x+1 утворюються геометричну прогресію

Answer 1

Объяснение:

x-2; x+1; 5x+1.       ⇒

b₁=x-2; b₂=x+1; b₃=5x+1.

$q=\frac{b_2}{b_1} =\frac{b_3}{b_2}\\\frac{x+1}{x-2} =\frac{5x+1}{x+1} \\(x+1)^2=(x-2)(5x+1)\\x^{2} +2x+1=5x^{2} -9x-2\\4x^2-11x-3=0\\D=169;\sqrt{D}=13\\x_1=3;x_2=-0,25.\\1) 1; 4; 16.\\2)-2,25; 0,75; -0,25.$

Answer 2

Давайте складемо рівняння для геометричної прогресії і знайдемо значення x.

У геометричній прогресії кожен наступний член виражається як попередній помножений на певне число, яке називається знаменником. Тобто, для геометричної прогресії a, ar, ar^2, ar^3, ... знаменником є r.

У вашому випадку маємо три члени геометричної прогресії: x-2, x+1, 5x+1. Тому:

1. Член 2 = Член 1 * Знаменник
2. Член 3 = Член 2 * Знаменник

Для розв'язання цієї задачі зробимо наступні кроки:

Перший член: x - 2 Другий член: x + 1 Третій член: 5x + 1

За правилами геометричної прогресії:

Член 2 = Член 1 * Знаменник Член 3 = Член 2 * Знаменник

Підставимо значення членів та знаменника:

x + 1 = (x - 2) * Знаменник 5x + 1 = (x + 1) * Знаменник

Розв'яжемо перше рівняння відносно знаменника:

Знаменник = (x + 1) / (x - 2)

Підставимо значення знаменника у друге рівняння:

5x + 1 = (x + 1) * ((x + 1) / (x - 2))

Розкриємо дужки та спростимо рівняння:

5x + 1 = (x + 1)^2 / (x - 2)

Перенесемо все на одну сторону рівняння:

5x + 1 = (x^2 + 2x + 1) / (x - 2)

Знайдемо спільний знаменник:

(5x + 1)(x - 2) = x^2 + 2x + 1

Розкриємо дужки та спростимо рівняння:

5x^2 - 9x - 2 = x^2 + 2x + 1

Зведемо подібні терміни та отримаємо квадратне рівняння:

4x^2 - 11x - 3 = 0

Знайдемо корені цього рівняння, наприклад, за допомогою квадратного рівняння:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

У нашому випадку, a = 4, b = -11, c = -3:

x = (11 ± √((-11)^2 - 4 * 4 * -3)) / (2 * 4) x = (11 ± √(121 + 48)) / 8 x = (11 ± √169) / 8 x = (11 ± 13) / 8

Отже, маємо два можливих значення x:

1. x = (11 + 13) / 8 = 24 / 8 = 3
2. x = (11 - 13) / 8 = -2 / 8 = -0.25

Отже, значення x може бути 3 або -0.25, при цих значеннях числа x-2, x+1 та 5x+1 утворюють геометричну прогресію.