Question

1.Найти область определения следующих функций:а) а) y=-1/x+2 б) y=x+3/корень из x в) y=sin x/корень из 3x 2.Исследовать функцию на четность (нечетность): а) y=-4x+1 б) y=-sin(1/x+2) в) y=x^2+2x+3

Answer 1

$1)\; \; y=-\dfrac{1}{x+2}\ \ ,\ \ \ x\ne -2\ \ ,\ \ x\in (-\infty ;-2)\cup(-2;+\infty)\\\\\\2)\ \ \ y=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}}\ \ ,\ \ x>0\ \ ,\ \ x\in (\, 0;+\infty)\\\\\\3)\ \ y=\dfrac{sinx}{\sqrt{3x}}\ \ ,\ \ \ x>0\ \ ,\ \ x\in (\, 0;+\infty )$

$4)\ \ y=4x+1\ \ ,\ \ y(-x)=-4x+1\ne y(x)\ne -y(x)\\\\\\5)\ \ y=-sin(\frac{1}{x}+2)\ \ ,\ \ y(-x)=-sin(-\frac{1}{x}+2)\ne y(x)\ne -(y(x)\\\\\\6)\ \ y=x^2+2x+3\ \ ,\ \ y(-x)=x^2-2x+3\ne y(x)\ne -y(x)$

Ни одна функция не является ни чётной, ни нечётной .

Answer 2

1. а) у=-1/х+2 Если читать как написано, то х≠0, или что то же самое, что х∈(-∞;0)∪(0;+∞); если подразумевалась такая запись у=1/(х+2), то х≠-2,  и тогда х∈(-∞;-2)∪(-2;+∞)

б)у= х+3/√х, х>0, т.к. корень четной степени не может быть отрицательным, а ноль отбрасываем, т.к. на нуль делить нельзя. Тогда получаем х∈(0;+∞)

в)у=sinx/√(3х), аналогичная б) ситуация. х∈(0;+∞), т.к. 3>0, х>0

2. а) областью определения функции служит любое действительное число, но у(-х)=4х+1; у(-х)≠у(х), поэтому функция не является четной,  у(-х)≠-у(х), поэтому функция не является нечетной.

б) y(х)=-sin(1/x+2); если х+2 стоит в знаменателе под единицей, т.е. 1/(х+2), то исследовать на четность, или нечетность нет смысла, т.к. область определения функции не симметрична относительно начала отсчета, а если  y(х)=-sin((1/(x))+2), то функция тоже не является ни четной, ни нечетной, т.к. у(-х)=-(sin((1/(-x))+2)=sin((1/(x))-2), получаем, то у(-х)≠у(х);т.е. не является четной,  у(-х)≠-у(х), т.е. не является нечетной.

в) у=(х+1)²+2-осью симметрии графика этой функции - параболы-  является прямая х=-1, а не ось оу, тогда  функция была бы четной, но она не является и нечетной, т.к.  у(-х)= (-х)²-2х+3=х²-2х+3≠-у(х)

Вывод: все рассмотренные функции не являются ни четными, ни нечетными, это функции общего вида.

Answer 3

1. Область определения функций: а) y = -1/x + 2 Область определения: все значения x, кроме x = 0, так как в знаменателе функции находится x, и деление на ноль невозможно. Таким образом, область определения данной функции - (-∞, 0) U (0, +∞).

б) y = (x + 3) / √x Область определения: функция определена только для неотрицательных значений x, так как в знаменателе функции находится корень из x, и корень из отрицательного числа не определен. Таким образом, область определения данной функции - [0, +∞).

в) y = sin(x) / √(3x) Область определения: функция определена для всех положительных значений x, так как в знаменателе функции находится корень из x, и корень из нуля и отрицательных чисел не определен. Таким образом, область определения данной функции - (0, +∞).

2. Исследование функций на четность (нечетность): а) y = -4x + 1 Данная функция является нечетной, так как при замене x на -x получаем: y = -4(-x) + 1 = 4x + 1. Поскольку y ≠ -y, функция не удовлетворяет условию четности (f(x) = f(-x)), а удовлетворяет условию нечетности (f(x) = -f(-x)).

б) y = -sin(1/x + 2) Данная функция не является ни четной, ни нечетной. При замене x на -x мы не можем получить равенство f(x) = f(-x) или f(x) = -f(-x), так как угол внутри синуса содержит 1/x, и изменение знака аргумента x приводит к изменению значения функции.

в) y = x^2 + 2x + 3 Данная функция является четной, так как при замене x на -x получаем: y = (-x)^2 + 2(-x) + 3 = x^2 - 2x + 3. Из этого видно, что f(x) = f(-x), что удовлетворяет условию четности (f(x) = f(-x)).