Question

Решить неравенство методом интервалов : х^3-64х<0

Answer 1

Разложим левую часть на множители

х*(х-8)(х+8)<0

___-8_____0______8___

-             +            -             +

х∈(-∞;-8)∪(0;8)

Answer 2

Для решения данного неравенства методом интервалов, нужно определить интервалы, на которых выражение $x^3 - 64x$ меньше нуля (меньше нуля значит, что оно находится под горизонтальной осью $x$).

Сначала факторизуем выражение: $x^3 - 64x = x(x^2 - 64) = x(x - 8)(x + 8)$

Теперь мы видим, что у нас есть три точки на числовой оси, которые разбивают плоскость $x$ на четыре интервала: $(-\infty, -8)$, $(-8, 0)$, $(0, 8)$ и $(8, +\infty)$.

Посмотрим, какое значение имеет выражение $x^3 - 64x$ на каждом из этих интервалов:

• Для интервала $(-\infty, -8)$ взяв $x = -9$ (любое число меньше -8 подставим), получим: $(-9)^3 - 64(-9) = -729 + 576 = -153$, то есть отрицательное значение.
• Для интервала $(-8, 0)$ взяв $x = -1$ (любое число между -8 и 0 подставим), получим: $(-1)^3 - 64(-1) = -1 + 64 = 63$, то есть положительное значение.
• Для интервала $(0, 8)$ взяв $x = 1$ (любое число между 0 и 8 подставим), получим: $1^3 - 64 \cdot 1 = 1 - 64 = -63$, то есть отрицательное значение.
• Для интервала $(8, +\infty)$ взяв $x = 9$ (любое число больше 8 подставим), получим: $9^3 - 64 \cdot 9 = 729 - 576 = 153$, то есть положительное значение.

Таким образом, выражение $x^3 - 64x$ положительно на интервалах $(-8, 0)$ и $(8, +\infty)$, а отрицательно на интервалах $(-\infty, -8)$ и $(0, 8)$.

Ответ: Множество решений данного неравенства можно представить как объединение двух интервалов: $(-8, 0) \cup (8, +\infty)$.