Question

Дана функция f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1. Решите уравнение f '(x)= 12; решите неравенство f '(x)>0

Answer 1

Решение на фотографии.

Answer 2

Для решения уравнения f'(x) = 12, мы должны найти значения x, при которых производная функции f(x) равна 12:

f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 12

Перепишем уравнение:

6x^2 + 6x - 12 - 12 = 0

6x^2 + 6x - 24 = 0

Теперь разделим все коэффициенты на 6:

x^2 + x - 4 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного корня или факторизации. Но в данном случае оно не факторизуется легко, поэтому воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В данном уравнении a = 1, b = 1 и c = -4:

x = (-1 ± √(1² - 4 * 1 * -4)) / (2 * 1)

x = (-1 ± √(1 + 16)) / 2

x = (-1 ± √17) / 2

Таким образом, решения уравнения f'(x) = 12:

x = (-1 + √17) / 2 и x = (-1 - √17) / 2.

Теперь перейдем к решению неравенства f'(x) > 0:

f'(x) = 6x^2 + 6x - 12

Для определения интервалов, на которых производная положительна, мы должны найти корни квадратного уравнения f'(x) = 0:

6x^2 + 6x - 12 = 0

x^2 + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0

Таким образом, корни: x = -2 и x = 1.

Теперь мы можем построить таблицу знаков для f'(x) в интервалах между и за пределами корней:

-∞ -2 1 +∞ + - +

Из таблицы видно, что производная положительна на интервалах (-∞, -2) и (1, +∞).

Таким образом, решение неравенства f'(x) > 0: x ∈ (-∞, -2) ∪ (1, +∞).