Question

СРОЧНО!!!!!! 7. Спростіть вираз cos 8α cos 3α+sin 8α sin 3α /sin α cos 4α+sin 4α cosα

Answer 1

$\frac{Cos8\alpha Cos3\alpha+Sin8\alpha Sin3\alpha}{Sin\alpha Cos4\alpha+Sin4\alpha Cos\alpha}=\frac{Cos(8\alpha-3\alpha)}{Sin(\alpha+4\alpha)}=\frac{Cos5\alpha}{Sin5\alpha}=Ctg5\alpha \\\\Otvet:\boxed{Ctg 5\alpha}$

Answer 2

Надеюсь, что понятно

Answer 3

Давайте спростимо даний вираз:

cos(8α) cos(3α) + sin(8α) sin(3α) / (sin(α) cos(4α) + sin(4α) cos(α))

Ми можемо використовувати тригонометричні тотожності для спрощення цього виразу. Одна з таких тотожностей - це тотожність для добутку суми та різниці косинусів:

cos(A) cos(B) + sin(A) sin(B) = cos(A - B)

Також, є тотожність для суми косинуса та синуса від одного та того ж кута:

cos(A) + sin(A) = √2 * sin(A + π/4)

Зараз давайте застосуємо ці тотожності до заданого виразу:

cos(8α) cos(3α) + sin(8α) sin(3α) = cos(8α - 3α) = cos(5α)

sin(α) cos(4α) + sin(4α) cos(α) = sin(α + 4α) = sin(5α)

Отже, наш вираз спрощується до:

cos(5α) / sin(5α)

Але ми також можемо використовувати тотожність:

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

Застосуємо її до виразу sin(5α):

sin(5α) = 2sin(2α)cos(2α)cos(α) = 2 * 2sin(α)cos(α)cos(2α) = 4sin(α)cos(α)cos(2α)

Тепер наш вираз має вигляд:

cos(5α) / 4sin(α)cos(α)cos(2α)

Спростимо ще далі, використовуючи тотожність для подвоєного косинуса:

cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1

Застосуємо цю тотожність до косинуса 2α:

cos(2α) = 2cos²(α) - 1

Тепер підставимо це у вираз:

4sin(α)cos(α)cos(2α) = 4sin(α)cos(α)(2cos²(α) - 1) = 8sin(α)cos³(α) - 4sin(α)cos(α)

Тепер наш вираз виглядає:

cos(5α) / (8sin(α)cos³(α) - 4sin(α)cos(α))

В результаті, ми спростили заданий вираз до виразу:

cos(5α) / (8sin(α)cos³(α) - 4sin(α)cos(α))