Question

Найти критические точки функции y=9x-(1/3)*x^3

Answer 1

$y=9x-\frac{1}{3}\, x^3\\\\y'=9-x^2=0\; \; ,\; \; (3-x)(3+x)=0\; \; ,\; \; x_1=-3\; ,\; x_2=3\\\\znaki\; y'(x):\; \; \; ---(-3)+++(3)---\\\\x_{min}=-3\; ,\; \; x_{max}=3$

Критические точки:  х=-3 и х=3 .

Answer 2

Чтобы найти критические точки функции $y = 9x - \frac{1}{3}x^3$, необходимо найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки могут быть экстремумами (максимумами или минимумами) или точками перегиба.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx} \left(9x - \frac{1}{3}x^3\right) = 9 - x^2$

2. Найдем значения $x$, при которых $y' = 0$: $9 - x^2 = 0$ $x^2 = 9$ $x = \pm 3$

3. Проверим, что производная существует в этих точках: Поскольку производная $y'$ представляет собой полином, она существует во всех точках. Мы должны только проверить, что производная $y'$ меняет знак вокруг критических точек.

4. Определим характер изменения производной вокруг критических точек:

   • При $x < -3$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
   • В окрестности $-3 < x < 3$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
   • При $x > 3$, $y' > 0$, следовательно, функция снова возрастает.

Исходя из анализа изменения знака производной, точка $x = -3$ является локальным максимумом, а точка $x = 3$ - локальным минимумом функции $y$.