Question

Решите неравенство :(x+4)^2/(x^2-9)<=0

Answer 1

неравенство (x+4)²/(x²-9)≤0      равносильно системе

(х+4)²*(х-3)(х+3)≤0

х≠±3

___-4____-3_____3______

+           +            -               +

х∈(-3;3)∪{-4}

Answer 2

$\dfrac{(x+4)^2}{x^2-9}\leq 0\ \ \ \ \to \ \ \ \ \dfrac{(x+4)^2}{(x-3)(x+3)}\leq 0\ \ ,\ \ ODZ:\ x\ne \pm 3\\\\x_1=-4\ \ ,\ \ x_2=-3\ \ ,\ \ x_3=3\\\\znaki:\ \ \ \ +++[-4\; ]+++(-3)---(3)+++\\\\x\in \{-4\}\cup (-3\, ;\, 3)$

Answer 3

Давайте рассмотрим данное неравенство:

$\frac{(x+4)^2}{x^2-9} \leq 0$

Сначала определим области, в которых числитель и знаменатель будут положительными, отрицательными или равными нулю.

Числитель $(x+4)^2$ является квадратом, поэтому он всегда положителен или равен нулю для всех $x$.

Знаменатель $x^2-9$ раскладывается на $(x+3)(x-3)$. Знак этого выражения зависит от значений $x$ в интервалах $(- \infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, \infty)$:

1. Для $x < -3$, оба множителя $x+3$ и $x-3$ отрицательны, значит, знаменатель положителен.
2. Для $-3 < x < 3$, первый множитель $x+3$ положителен, а второй $x-3$ отрицателен, так что знаменатель отрицателен.
3. Для $x > 3$, оба множителя $x+3$ и $x-3$ положительны, значит, знаменатель положителен.

Таким образом, неравенство может выполняться только в интервале $-3 < x < 3$.

Остается понять, какой знак имеет выражение $\frac{(x+4)^2}{x^2-9}$ в этом интервале:

• Возьмем $x = 0$. Тогда числитель равен $(0+4)^2 = 16$, а знаменатель равен $0^2 - 9 = -9$, что даёт отрицательное значение.
• Возьмем $x = 2$. Тогда числитель равен $(2+4)^2 = 36$, а знаменатель равен $2^2 - 9 = -5$, что также даёт отрицательное значение.

Значит, в интервале $-3 < x < 3$ неравенство выполняется, и решение неравенства - это $x \in (-3, 3)$.