Question

Дам 30 баллов!, При каких значениях а и в равенство а/х+5 + в/(х-2)² = х²+24/х³-х²-16х+20 является тождеством?

Answer 1

При каких значениях а и в равенство

а/ (х+5) + b/(х-2)² = (х²+24) / (х³+х²-16х+20)  является тождеством ?

Решение:   а / (х+5) + b/(х -2)² = (х²+24) / (х³+х²-16х+20)

x³+х²-16х+20 = x³ - 2х²+3x²-6х  - 10x +20  =x²(x-2) +3x(x-2) -10(x-2) =

(x-2)(x² +3x -10) =(x-2)(x +5)(x -2) = (x +5)(x -2)²

- - -

а / (х+5) + b/(х -2)²  =  (х²+24) / (х+5) (х -2)²

( a(х -2)²  +b(x+5) ) / (х+5) (х -2)² = (х²+24) / (х+5) (х -2)²

a(х -2)²  +b(x+5)   ≡ х²+24     для всех  x

ax² - 4ax +4a +bx +5b ≡ х²+24

ax² +  (b -4a) x +4a +5b   ≡ 1*х²+0*x +24    многочлены равны если

{ a=1 ; b-4a =0 ; 4a +5b =24 .  ( система написана в одной строке)

{ a=1 ; b=4a  ; 4a +5b =24.

{ a=1 ; b=4  ; 4*1 +5*4 =24.

ответ : a=1 ; b=4.

Answer 2

Чтобы данное равенство стало тождеством, необходимо, чтобы оно выполнялось для любого значения переменной x (кроме, возможно, тех значений x, которые делают знаменатели нулевыми, что приведет к неопределенности).

Давайте рассмотрим данное равенство:

a/x + 5 + v/(x - 2)² = x² + 24 / (x³ - x² - 16x + 20)

Чтобы разобраться, при каких значениях a и v это будет тождеством, мы можем сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x с обеих сторон равенства.

Сравним коэффициенты при степенях x:

1. При x⁰ (константы): Слева у нас есть a + 5, справа - 20. Чтобы это сравнять, a + 5 должно быть равно -20, следовательно, a = -25.
2. При x¹: Слева у нас есть коэффициент v при 1/(x - 2)², а справа у нас нет слагаемого с x. Это означает, что v должно быть равно 0.
3. При x²: Слева у нас нет слагаемого с x², а справа коэффициент при x² равен 1. Это означает, что слева у нас также должно быть 0.

Итак, чтобы данное равенство было тождеством, значения переменных a и v должны быть равным -25 и 0 соответственно.