Question

Якщо 2sinα=cosα, то tgα=​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

tga=sina

Answer 2

Давайте розв'яжемо це рівняння для α та визначимо значення tgα.

Почнемо з даного рівняння: 2sinα = cosα

Ми знаємо, що: sin^2α + cos^2α = 1

Поділимо обидва боки останнього рівняння на cos^2α: (sin^2α / cos^2α) + 1 = 1 / cos^2α

Згідно з тригонометричним тотожністю тангенсу: tan^2α + 1 = sec^2α

Отже, ми можемо записати: tan^2α = sec^2α - 1

Тепер підставимо значення secα (secant) в термінах cosα: secα = 1 / cosα

Таким чином: tan^2α = (1 / cosα)^2 - 1 tan^2α = 1 / cos^2α - 1

Зважаючи на відоме рівняння sin^2α + cos^2α = 1, ми можемо записати: cos^2α = 1 - sin^2α

Підставимо це у вираз для tan^2α: tan^2α = 1 / (1 - sin^2α) - 1

Знаючи, що 2sinα = cosα, можемо підставити 2sinα за cosα: tan^2α = 1 / (1 - (2sinα)^2) - 1

Так як sin(2α) = 2sinαcosα, то ми можемо подвоїти sinα: tan^2α = 1 / (1 - sin^2(2α)) - 1

І тут ми можемо використовувати тригонометричну тотожність: sin^2θ = (1 - cos2θ) / 2

Підставимо це для sin^2(2α): sin^2(2α) = (1 - cos(4α)) / 2

Отже: tan^2α = 1 / (1 - (1 - cos(4α)) / 2) - 1

Спростимо: tan^2α = 2 / (2 - cos(4α)) - 1

Підставимо cos(4α) за cos^2α - sin^2α: tan^2α = 2 / (2 - (cos^2α - sin^2α)) - 1 tan^2α = 2 / (1 + sin^2α) - 1

Знаючи, що 2sinα = cosα, ми можемо підставити sinα: tan^2α = 2 / (1 + (2sinα)^2) - 1

Знаючи, що sin^2θ = (1 - cos2θ) / 2, ми можемо підставити це: tan^2α = 2 / (1 + (1 - cos(2α))^2) - 1

Тепер ми можемо спростити це вираження: tan^2α = 2 / (1 + 1 - 2cos(2α) + cos^2(2α)) - 1 tan^2α = 2 / (2 - 2cos(2α) + 2cos^2(2α)) - 1 tan^2α = 1 / (1 - cos(2α))

Знаючи, що tg(2α) = 2tgα / (1 - tg^2α), ми можемо використати це для tgα: tgα = tg(2α) / 2

Отже, якщо 2sinα = cosα, то tgα = tg(2α) / 2.