Question

Методом интервалов решить неравенство: x+1 ---------------- (типо деление) > 0 (6x+5)(x-2)

Answer 1

$\dfrac{x+1}{(6x+5)(x-2)}>0\\\\znaki:\ \ \ ---(-1)+++\Big(-\dfrac{5}{6}\Big)---(2)+++\\\\x\in (-1\ ;-\dfrac{5}{6}\; )\cup (\ 2\ ;\, +\infty )$

Answer 2

Для того чтобы решить неравенство $\frac{x+1}{(6x+5)(x-2)} > 0$ методом интервалов, следует выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Найти значения $x$, при которых числитель и знаменатель обращаются в ноль. Это поможет определить интервалы, на которых знак неравенства может изменяться.

a) Числитель равен нулю при $x = -1$. b) Знаменатель равен нулю при $x = -\frac{5}{6}$ (по уравнению $6x+5=0$) и $x = 2$.

Шаг 2: Построить интервалы на числовой оси, используя найденные точки из шага 1.

Сначала разбиваем числовую ось на интервалы между найденными корнями:

$(- \infty, -\frac{5}{6})$, $(- \frac{5}{6}, -1)$, $(-1, 2)$, $(2, +\infty)$

Шаг 3: Определить знак выражения $\frac{x+1}{(6x+5)(x-2)}$ на каждом из интервалов, используя любую точку внутри интервала.

Выберем, например, точку $x = 0$ для проверки знака:

а) При $x = 0$, числитель $x + 1$ положителен, так как $0 + 1 = 1$. Знаменатель $6x+5$ положителен ($6 \cdot 0 + 5 = 5$), а $x - 2$ отрицателен ($0 - 2 = -2$). Таким образом, выражение $\frac{x+1}{(6x+5)(x-2)}$ отрицательно на интервале $(- \infty, -\frac{5}{6})$.

б) При $x = -\frac{3}{4}$, числитель $x + 1$ положителен ($-\frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4}$). Знаменатель $6x+5$ положителен ($6 \cdot (-\frac{3}{4}) + 5 = \frac{5}{4}$), а $x - 2$ отрицателен ($-\frac{3}{4} - 2 = -\frac{11}{4}$). Таким образом, выражение $\frac{x+1}{(6x+5)(x-2)}$ положительно на интервале $(- \frac{5}{6}, -1)$.

в) При $x = 1$, числитель $x + 1$ положителен ($1 + 1 = 2$). Знаменатель $6x+5$ положителен ($6 \cdot 1 + 5 = 11$), а $x - 2$ отрицателен ($1 - 2 = -1$). Таким образом, выражение $\frac{x+1}{(6x+5)(x-2)}$ отрицательно на интервале $(-1, 2)$.

г) При $x = 3$, числитель $x + 1$ положителен ($3 + 1 = 4$). Знаменатель $6x+5$ положителен ($6 \cdot 3 + 5 = 23$), а $x - 2$ положителен ($3 - 2 = 1$). Таким образом, выражение $\frac{x+1}{(6x+5)(x-2)}$ положительно на интервале $(2, +\infty)$.

Шаг 4: Собрать результаты вместе и ответить на вопрос о знаке выражения на всей числовой оси.

На интервалах:

• $(- \infty, -\frac{5}{6})$, выражение положительно,
• $(- \frac{5}{6}, -1)$