Question

Составьте уравнение касательной к графику функции в точке , если: y=1/x, xo=3

Answer 1

$y=\dfrac{1}{x}$

$y(x_0)=\dfrac{1}{3}$

$y'=-\dfrac{1}{x^2}$

$y'(x_0)=-\dfrac{1}{3^2} =-\dfrac{1}{9}$

Уравнение касательной:

$y_k=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$

$y_k=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}(x-3)$

$y_k=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}x+\dfrac{1}{3}$

$y_k=-\dfrac{1}{9}x+\dfrac{2}{3}$

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к графику функции в заданной точке, мы можем использовать производную функции в этой точке.

Данная функция: y = 1/x

Производная функции y по x: y' = -1/x^2

Теперь мы можем найти значение производной в точке x = xo:

y'(3) = -1/(3^2) = -1/9

Теперь у нас есть значение производной в точке xo = 3. Так как касательная линия имеет угол наклона равный значению производной в данной точке, угол наклона касательной будет -1/9.

Уравнение касательной можно записать в форме:

y - y1 = m(x - x1),

где (x1, y1) - координаты точки, к которой строим касательную, а m - значение производной в данной точке.

Подставляем значения:

y - y1 = -1/9(x - x1).

Так как x1 = 3 (согласно условию), мы получаем:

y - y1 = -1/9(x - 3).

Теперь можем подставить y1, заменяя x на 3 в исходной функции:

y1 = 1/x1 = 1/3.

Итак, уравнение касательной к графику функции y = 1/x в точке (3, 1/3) будет:

y - 1/3 = -1/9(x - 3).