Question

1. Найдите экстремумы функции у= х 3 - 4х +8. 2. Найти интеграл ∫(x +24 sinx – 4) dx .

Answer 1

1. Найдите экстремумы функции у= х 3 - 4х +8

y' = 3x²-4

3x²-4=0

3x²=4

x²=4/3

x = ±2/√3

2. Найти интеграл ∫(x +24 sinx – 4) dx .

x²/2 - 24cosx - 4x + C

Answer 2

1. Чтобы найти экстремумы функции y = x^3 - 4x + 8, нужно найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти точки, где производная переходит из положительного в отрицательное значение или наоборот.

Сначала найдем производную функции: y' = 3x^2 - 4.

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точки, в которых она обращается в ноль: 3x^2 - 4 = 0, 3x^2 = 4, x^2 = 4/3, x = ±√(4/3).

Таким образом, у нас есть две точки, где производная равна нулю: x = √(4/3) и x = -√(4/3).

Теперь проверим знаки производной в интервалах между и за пределами этих точек:

• Если x < -√(4/3), то 3x^2 - 4 < 0 (производная отрицательная).
• Если -√(4/3) < x < √(4/3), то 3x^2 - 4 > 0 (производная положительная).
• Если x > √(4/3), то 3x^2 - 4 > 0 (производная положительная).

Итак, у нас есть:

• Локальный максимум при x = -√(4/3) (производная меняется с положительной на отрицательную).
• Локальный минимум при x = √(4/3) (производная меняется с отрицательной на положительную).

2. Интеграл функции ∫(x + 24 sinx - 4) dx можно найти, интегрируя каждый из трех слагаемых по отдельности:

∫x dx = (1/2)x^2 + C1, ∫24 sinx dx = -24 cosx + C2, ∫-4 dx = -4x + C3.

Суммируя эти интегралы, получим окончательный результат: ∫(x + 24 sinx - 4) dx = (1/2)x^2 - 24 cosx - 4x + C,

где C = C1 + C2 + C3 - это константа интегрирования.