Question

(n-2)!/n!+(n-1)!/(n+1)=1?4 решить уравнение

Answer 1

$\dfrac{(n-2)!}{n!}+\dfrac{(n-1)!}{(n+1)!}=\dfrac{1}{4}\\\\\\\dfrac{(n-2)!}{(n-2)!\, (n-1)\, n}+\dfrac{(n-1)!}{(n-1)!\, n\, (n+1)}=\dfrac{1}{4}\\\\\\\dfrac{1}{(n-1)\, n}+\dfrac{1}{n\, (n+1)}=\dfrac{1}{4}\ \ ,\ \ \ \ \dfrac{n+1+n-1}{(n-1)\, n\, (n+1)}=\dfrac{1}{4}\ \ ,\\\\\\\dfrac{2n}{(n-1)\, n\, (n+1)}=\dfrac{1}{4}\ \ ,\ \ \ 8n=n(n^2-1)\ \ ,\ \ \ \ n^3-9n=0\ \ ,\\\\\\n(n^2-9)=0\ \ ,\ \ \ n(n-3)(n+3)=0\ \ ,\\\\n_1=-3\notin N\ ,\ n_2=0\notin N\ ,\ n_3=3\\\\Otvet:\ \ n=3\ .$

P.S. В условии две описки, забыли поставить факториал после  (n+1)  и  регистр не сменили при нажатии на "/"  , выбился "?" .

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

$\frac{(n-2)!}{n!} + \frac{(n-1)!}{n+1} = 1$.

Сначала упростим оба слагаемых:

$\frac{(n-2)!}{n!} = \frac{1}{n \cdot (n-1)}$, так как $(n-2)! = (n-2)!$ и $n! = n \cdot (n-1) \cdot n \cdot (n-2)!$.

$\frac{(n-1)!}{n+1} = \frac{(n-1)!}{n+1} \cdot \frac{n}{n} = \frac{n!}{(n+1) \cdot n}$, так как $n! = n \cdot (n-1)!$ и $n+1 = n+1$.

Теперь подставим оба упрощенных слагаемых обратно в уравнение:

$\frac{1}{n \cdot (n-1)} + \frac{n!}{(n+1) \cdot n} = 1$.

Теперь найдем общий знаменатель и объединим дроби:

$\frac{(n+1) + n!}{n \cdot (n-1) \cdot (n+1)} = 1$.

Раскроем скобки в знаменателе:

$\frac{n + 1 + n!}{n^2 \cdot (n-1)} = 1$.

Умножим обе стороны на $n^2 \cdot (n-1)$:

$n + 1 + n! = n^2 \cdot (n-1)$.

Раскроем скобки в правой части:

$n + 1 + n! = n^3 - n^2$.

Теперь давайте перенесем все члены на одну сторону:

$n^3 - n^2 - n - 1 - n! = 0$.

Для большинства значений $n$ это уравнение будет нелинейным и не имеет аналитического решения. Вы можете попробовать численные методы для приближенного нахождения корней этого уравнения для конкретных значений $n$.