Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: 1) y'''=sinx;2)y'''=

Answer 1

$1)\ \ \ y'''=sinx\\\\y''=\int sinx\, dx=-cosx+C_1\\\\y'=\int (-cosx+C_1)\, dx=-sinx+C_1x+C_2\\\\y=\int (-sinx+C_1x+C_2)\, dx=cosx+C_1\cdot \dfrac{x^2}{2}+C_2\cdot x+C_3\\\\\\2)\ \ \ y'''=e^{2x}\\\\y''=\int e^{2x}\, dx=\dfrac{1}{2}\cdot e^{2x}+C_1\\\\y'=\int (\dfrac{1}{2}\cdot e^{2x}+C_1)\, dx=\dfrac{1}{4}\cdot e^{2x}+C_1\cdot x+C_2\\\\y=\int (\dfrac{1}{4}\cdot e^{2x}+C_1\cdot x+C_2)\, dx=\dfrac{1}{8}\cdot e^{2x}+C_1\cdot \dfrac{x^2}{2}+C_2\cdot x+C_3$

Answer 2

Для решения дифференциальных уравнений третьего порядка, таких как у вас, мы должны интегрировать уравнение три раза, чтобы получить общее решение. Первым шагом является нахождение общего решения однородного уравнения (то есть уравнения без правой части). Затем мы будем искать частное решение неоднородного уравнения (с правой частью).

1. Уравнение: $y''' = \sin(x)$

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения $y''' = 0$. Общее решение будет иметь вид: $y_h(x) = c_1 + c_2x + c_3x^2$, где $c_1, c_2$ и $c_3$ - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения $y''' = \sin(x)$. Для этого предположим, что частное решение имеет вид $y_p(x) = A\sin(x) + B\cos(x)$, где $A$ и $B$ - неизвестные коэффициенты.

Вычислим производные для $y_p(x)$: $y_p'(x) = A\cos(x) - B\sin(x)$ $y_p''(x) = -A\sin(x) - B\cos(x)$ $y_p'''(x) = -A\cos(x) + B\sin(x)$

Подставим полученные производные в исходное уравнение: $-A\cos(x) + B\sin(x) = \sin(x)$

Сравнивая коэффициенты при $\sin(x)$ и $\cos(x)$, получаем: $-A = 1 \quad \text{и} \quad B = 0$

Таким образом, частное решение: $y_p(x) = -\sin(x)$

Общее решение неоднородного уравнения: $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 + c_2x + c_3x^2 - \sin(x)$

2. Второе уравнение $y''' = \ldots$ не содержит правую часть (неоднородности). В таком случае общее решение будет аналогично первому уравнению: $y(x) = c_1 + c_2x + c_3x^2$

Здесь $c_1, c_2$ и $c_3$ - произвольные постоянные.