Question

Биссектриса прямого угла некоторого прямоугольного треугольника делит гипотенузу в соотношении 1:2. В каком соотношении делит гипотенузу высота приведенной к гипотенузе? (ответ 1:4)

Answer 1

Ответ:

ΔABC,<C=90,CK-биссектриса,KC:KA=1:2,CH-высота

 Биссектриса делит гипотенузу пропорционально длине катетов. Значит СВ:СА=1:2.

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу:

a^2=c*a(с)

b^2=c*b(с)

Тогда

a(с)/b(с)=a^2/b^2=1/4

P.S. Не совсем понятно зачем тебе задача, если есть ответ

Answer 2

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где угол BAC = 90°. Пусть BD - биссектриса прямого угла BAC, которая делит гипотенузу AC в соотношении 1:2.

Так как BD - биссектриса, она делит угол BAC пополам, и угол DBC = угол DAB = 45°.

Пусть H - точка на гипотенузе AC, в которой проведена высота BH.

Так как треугольник ABC прямоугольный, мы можем использовать сходство треугольников BHD и ABD:

1. В треугольнике ABD: Тангенс угла DAB = BD / AD Тангенс 45° = 1 Следовательно, BD = AD.

2. В треугольнике BHD: Тангенс угла DBC = BD / BH Тангенс 45° = 1 Следовательно, BD = BH.

Из этих двух равенств следует, что AD = BH.

Так как BD делит гипотенузу AC в соотношении 1:2, то AD = 2 * BD.

Следовательно, BH = 2 * BD.

Теперь рассмотрим треугольник BHC:

Так как BH = 2 * BD, а BD = AD, то BH = 2 * AD.

Также из сходства треугольников BHD и ABD следует, что HD = BD.

Итак, в треугольнике BHC у нас есть две стороны, одна из которых вдвое больше другой, а значит, это треугольник подобен прямоугольному треугольнику 1:2:√5 (где 1 - это BD, 2 - это BH, √5 - это гипотенуза BC).

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник BAC:

У нас уже есть соотношение гипотенузы к катетам: 1:2:√5.

Теперь найдем высоту, проведенную к гипотенузе AC. Пусть E - точка пересечения высоты и гипотенузы.

Тогда в треугольнике ABE у нас также есть подобие:

1/BE = BE/2BE

BE^2 = 2

BE = √2

Теперь мы можем найти соотношение высоты к гипотенузе AC:

HE/BE = 2√2/√2 = 2.

Таким образом, высота прямоугольного треугольника, приведенная к гипотенузе, делит её в соотношении 1:4.