Question

Сколько существует натуральных чисел N таких, что уравнение 96x + 150y = N имеет ровно 100 решений в натуральных числах x, y?

Answer 1

Ответ:

N=240 000

Объяснение:

96 и 150  имеют общий делитель 6, поэтому N=6R

Частное решение уравнение 96x+150y=6 равно

x=11 y=-7

Все решения уравнения 96x+150y=6R записываются в виде.

x=11R +25k

y=(-7)R-16k

Решаем систему неравенств

x=11R +25k>=0

y=(-7)R-16k>=0

Отсюда

k>= -11R/25

k<= -7R/25

На отрезке [-11R/25, -7R/25] должно размешаться 100 целых чисел.

Длина отрезка R/400 => R=40 000 => N=240 000

Answer 2

Для уравнения вида $ax + by = c$, где $a$, $b$ и $c$ - фиксированные натуральные числа, число решений в натуральных числах $x$ и $y$ зависит от их наибольшего общего делителя (НОД), обозначим его как $d = \text{НОД}(a, b)$. Если $c$ делится на $d$, то уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах $x$ и $y$, и количество решений будет бесконечным. Если $c$ не делится на $d$, уравнение не имеет решений в натуральных числах $x$ и $y$.

В данном случае у нас есть уравнение $96x + 150y = N$, и нам дано, что у него ровно 100 решений в натуральных числах $x$ и $y$. Найдем наибольший общий делитель $d$ для чисел $96$ и $150$:

$$\begin{align*} \text{НОД}(96, 150) &= \text{НОД}(6 \cdot 16, 6 \cdot 25) \\ &= 6 \cdot \text{НОД}(16, 25) \\ &= 6. \end{align*}$$

Таким образом, чтобы уравнение $96x + 150y = N$ имело 100 решений в натуральных числах $x$ и $y$, число $N$ должно быть кратным $6$, иначе говоря, $N$ должно делиться на $6$. Однако, если $N$ делится на $6$, то уравнение будет иметь бесконечно много решений.

Следовательно, нет натуральных чисел $N$, для которых уравнение $96x + 150y = N$ имеет ровно 100 решений в натуральных числах $x$ и $y$.