Question

Решите уравнение: (sinx-3cosx)(1+cosx)=4(sinx)^2.

Answer 1

(sin x - 3cos x)(1 + cos x) = 4sin²x

(sin x - 3cos x)(1 + cos x) - 4(1 - cos x)(1 + cos x) = 0

(1 + cos x)(sin x - 3cos x - 4 + 4cos x) = 0

(1 + cos x)(sin x + cos x - 4) = 0

cos x = -1

x = π + 2πn, n ∈ Z

Уравнение sin x + cos x = 4 решений не имеет, т.к. asinx + bcosx = t имеет решение при условии |t| ≤ √2.

Ответ: x = π + 2πn, n ∈ Z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

Уравнение: $(\sin x - 3\cos x)(1 + \cos x) = 4\sin^2 x$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$\sin x + \sin x\cos x - 3\cos x - 3\cos^2 x = 4\sin^2 x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$0 = 4\sin^2 x - \sin x - \sin x\cos x + 3\cos x + 3\cos^2 x$

Теперь давайте попробуем преобразовать уравнение к более удобному виду:

Используем тригонометрическую тождественную формулу $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$0 = 4\sin^2 x - \sin x - \sin x\cos x + 3\cos x + 3(1 - \sin^2 x)$

$0 = 4\sin^2 x - \sin x - \sin x\cos x + 3\cos x + 3 - 3\sin^2 x$

Теперь сгруппируем похожие члены:

$0 = 4\sin^2 x - 3\sin^2 x - \sin x\cos x - \sin x + 3\cos x + 3$

$0 = \sin^2 x - \sin x\cos x + 3\cos x + 3$

Воспользуемся тригонометрической формулой $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$0 = (1 - \cos^2 x) - \sin x\cos x + 3\cos x + 3$

$0 = 1 - \cos^2 x - \sin x\cos x + 3\cos x + 3$

Теперь мы получили уравнение с одной переменной $\cos x$. Попробуем решить его:

$\cos^2 x + \sin x\cos x - 3\cos x - 4 = 0$

Давайте представим $\sin x \cos x$ как $\frac{\sin x \cos x}{2} + \frac{\sin x \cos x}{2}$:

$\cos^2 x + \frac{\sin x \cos x}{2} + \frac{\sin x \cos x}{2} - 3\cos x - 4 = 0$

$\cos^2 x + \frac{\sin x \cos x}{2} + \frac{\sin x \cos x}{2} - 2\cos x - 2\cos x - 4 = 0$

$(\cos x - 2)^2 + \frac{\sin x \cos x}{2} - 4 = 0$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно $\cos x - 2$:

$(\cos x - 2)^2 = 4 - \frac{\sin x \cos x}{2}$

$\cos x - 2 = \pm \sqrt{4 - \frac{\sin x \cos x}{2}}$