Question

Найти неопределённый интеграл ∫ (x+5)^3 dx

Answer 1

Ответ:

(X+5)^4/4 + C

Объяснение:

к степени прибавляешь 1 и делишь на степень

n + 1 , т. е (x+5 ) ^ 3+1 / 3+1

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла $\int (x+5)^3 \, dx$, следует воспользоваться методом интегрирования по частям или формулой Бинома Ньютона. В данном случае, для упрощения вычислений, лучше воспользоваться формулой Бинома Ньютона:

$\int (x+5)^3 \, dx = \int (x^3 + 3x^2 \cdot 5 + 3x \cdot 5^2 + 5^3) \, dx$.

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C_1$,

$\int 3x^2 \cdot 5 \, dx = 15 \cdot \frac{x^3}{3} + C_2 = 5x^3 + C_2$,

$\int 3x \cdot 5^2 \, dx = 3 \cdot 5^2 \cdot \frac{x^2}{2} + C_3 = 75x^2 + C_3$,

$\int 5^3 \, dx = 5^3 \cdot x + C_4 = 125x + C_4$.

Объединяя все слагаемые, получаем:

$\int (x+5)^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + 5x^3 + 75x^2 + 125x + C$,

где $C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ - произвольная константа интегрирования.