Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=cos⁡x,y=0,x=-π/3,x=π/6

Answer 1

$\int\limits^\frac{\pi}{6} _{-\frac{\pi}{3} } {\cos x} \, dx =\left \sin x\right|^\frac{\pi}{6} _{-\frac{\pi}{3} }=\sin\dfrac{\pi}{6} -\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=$

$=\sin\dfrac{\pi}{6} +\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} +\dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{1+\sqrt{3} }{2}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями и графиком функции y = cos(x), нужно вычислить интеграл функции по x в пределах указанных значений x, а затем вычислить разность между интегралами функций y = cos(x) и y = 0 в этих пределах.

Сначала найдем точки пересечения функции y = cos(x) и линии y = 0:

1. Для y = cos(x): y = 0 cos(x) = 0 x = π/2 + kπ, где k - целое число

2. Границы интегрирования: x = -π/3 и x = π/6

Мы видим, что границы интегрирования лежат между первым и вторым корнями функции cos(x). Давайте вычислим площадь между графиками функций y = cos(x) и y = 0 в указанных пределах:

Площадь = ∫[a, b] (cos(x) - 0) dx Площадь = ∫[-π/3, π/6] cos(x) dx

Вычислим этот интеграл:

∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Теперь вычислим интеграл в пределах от -π/3 до π/6:

Площадь = [sin(π/6) - sin(-π/3)] = [1/2 - (-√3/2)] = 1/2 + √3/2

Площадь фигуры, ограниченной графиками y = cos(x), y = 0, x = -π/3 и x = π/6, равна 1/2 + √3/2.