Question

найти площадь фигуры ограниченной графиком функции f(x) =5-0,6x², касательной к нему в точке с абсциссой x=-3 и прямой x=1​

Answer 1

Решение:    

     

Найдем уравнение касательной к графику функции $f(x)=5-0,6x^2$, проходящей через точку с абсциссой $x_0=-3$:

     $y = f(x_0) + f' (x_0) \; (x-x_0) \\\\y = (5 - 0,6 \cdot (-3)^2) + ((-1,2) \cdot (-3)) \cdot (x-(-3)) \\\\y = - 0,4 + 3,6x+10,8\\\\y = 3,6x + 10,4$

Теперь будем искать саму площадь фигуры по формуле Ньютона-Лейбница:

    $\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)$

В нашем случае $f(x)=10,4+3,6x-(5-0,6x^2) = 0,6x^2+3,6x+5,4$, $a=-3$ и $b=1$. Остается только вычислить интеграл:

    $\displaystyle \int\limits^1_{-3} \Big ( 0,6x^2 + 3,6x + 5,4 \Big ) \, dx = \Big (0,2x^3 + 1,8x^2 + 5,4x \Big ) \; \Big | _{-3} ^1 =\\\\= (0,2 + 1,8 + 5,4) - (-5,4 + 16,2-16,2) = 7,4 + 5,4 = \boxed {12,8}$

Задача решена!

На всякий случай прикладываю картинку (смотрите ниже).

Ответ:  $\Large{{{\boxed{12, 8} }}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры ограниченной графиком функции и данными прямыми, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдите точку пересечения графика функции f(x) и вертикальной прямой x = 1.
2. Найдите точку касания графика функции f(x) и её касательной в точке x = -3.
3. Найдите точки пересечения графика функции f(x) и горизонтальной прямой, образующей верхнюю границу фигуры.

Давайте выполним эти шаги подробнее:

1. Найдем точку пересечения графика функции f(x) = 5 - 0.6x² и вертикальной прямой x = 1: Подставим x = 1 в уравнение функции: f(1) = 5 - 0.6 * 1² = 5 - 0.6 = 4.4. Таким образом, точка пересечения находится в (1, 4.4).

2. Найдем уравнение касательной к функции f(x) = 5 - 0.6x² в точке x = -3: Для нахождения уравнения касательной используем производную функции: f'(x) = -1.2x. Подставим x = -3 в производную: f'(-3) = -1.2 * -3 = 3.6. Таким образом, уравнение касательной имеет вид y = 3.6x + b. Чтобы найти b, подставим координаты точки (-3, f(-3)) = (-3, 5 - 0.6 * (-3)²) = (-3, 5 - 5.4) = (-3, -0.4): -0.4 = 3.6 * -3 + b, -0.4 = -10.8 + b, b = -0.4 + 10.8 = 10.4. Таким образом, уравнение касательной: y = 3.6x + 10.4.

3. Найдем точки пересечения графика функции f(x) = 5 - 0.6x² и горизонтальной прямой y = 4.4 (минимальное значение f(x) на интервале x = [-3, 1]): 4.4 = 5 - 0.6x², 0.6x² = 5 - 4.4, 0.6x² = 0.6, x² = 1, x = ±1.

Итак, у нас есть три основные точки: A(-3, -0.4), B(1, 4.4), C(1, -0.4).

Теперь мы можем найти площадь фигуры между графиком функции f(x) и данными прямыми:

Площадь S = Площадь треугольника ABC + Площадь под касательной между точками A и C.

1. Площадь треугольника ABC: S_triangle = 0.5 * |AC| * |AB| = 0.5 * |-0.4 - 4.4| * |1 - (-3)| = 2.4 * 4 = 9.6.

2. Площадь под касательной между точками A и C: S_tangent = ∫(from -3 to 1) (3.6x + 10.4) dx S_tangent = [1.8x² + 10.4x] (from -3 to 1) S_tangent = (1.8 + 10.4) - (16.2 - 31.2) S_tangent = 12.2 - 15 = -2.8 (площадь отрицательна, так как касательная находится выше графика функции в этом интервале).

Итак, общая площадь фигуры ограниченной графиком функции, касательной и прямыми: S = S_triangle + S_tangent = 9.6 - 2.8 = 6.8.

Итак, площадь этой фигуры составляет 6.8 квадратных единиц.