Question

Решить определенный интеграл 4 ∫ 1/1+(√2x+1)dx 0

Answer 1

Ответ

8+16✓2:3

Объяснение

1.гайти неоприделенний интеграл

2 виполнить деление и раскрить скобки

3 висислить суму сократить дробь

4 использивать прпвила возведения в степень

5 использивать свойства интегралов

6 висислить интеграли

7 вернуть предели интегрования

8.висислить вираження

9.упростить вираження и получаем ответ 8+16✓2:3

Answer 2

Для решения данного определенного интеграла, давайте начнем с вычисления неопределенного интеграла функции:

$\int \frac{1}{1 + (\sqrt{2}x + 1)} \, dx$

Мы можем сделать замену переменной, чтобы упростить интеграл. Положим $u = \sqrt{2}x + 1$, тогда $du = \sqrt{2}dx$, откуда $dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$.

Подставляем это в интеграл:

$\int \frac{1}{1 + (\sqrt{2}x + 1)} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \, du = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln |u| + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln | \sqrt{2}x + 1 | + C$

Теперь мы можем вычислить определенный интеграл на интервале [0, 4]:

$\int_0^4 \frac{1}{1 + (\sqrt{2}x + 1)} \, dx = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \ln | \sqrt{2}x + 1 | \right]_0^4 = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln | \sqrt{2} \cdot 4 + 1 | - \frac{1}{\sqrt{2}} \ln | \sqrt{2} \cdot 0 + 1 |$ $= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln (2\sqrt{2} + 1) - \frac{1}{\sqrt{2}} \ln 1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln (2\sqrt{2} + 1)$

Итак, значение определенного интеграла равно $\frac{1}{\sqrt{2}} \ln (2\sqrt{2} + 1)$