Question

В ящике определенное количество белых, 5 желтых и 3 черных шаров. Сколько белых шаров было в ящике, если количество случаев, что одновременно достанут два шара одинакового цвета равно 41

Answer 1

Ответ:

8

Объяснение:

Пусть Б количество белых шаров, тогда

С(5,2)+С(3,2)+С(Б,2)=41

С(5,2)=5!/(2!*3!)=10

С(3,2)=3!/(2!*1!)=3

С(Б,2)=Б!/(2!*(Б-2)!)=Б*(Б-1)/2

10+3+Б*(Б-1)/2=41

Б*(Б-1)/2==28

Б*(Б-1)=56=8*7

Б=8

Answer 2

Предположим, что в ящике было $x$ белых шаров.

Так как всего в ящике было определенное количество белых, 5 желтых и 3 черных шаров, то всего шаров было $x + 5 + 3 = x + 8$.

Мы хотим посчитать количество случаев, когда два шара одинакового цвета будут достанутся одновременно. Есть три варианта цветов: белый, желтый и черный.

1. Два белых шара: Это возможно выбрать $\binom{x}{2}$ способами.
2. Два желтых шара: Это возможно выбрать $\binom{5}{2}$ способами.
3. Два черных шара: Это возможно выбрать $\binom{3}{2}$ способами.

Общее количество способов выбрать два шара из ящика: $\binom{x + 8}{2}$.

Суммируя все эти случаи, мы получаем уравнение:

$\binom{x}{2} + \binom{5}{2} + \binom{3}{2} = 41$

Вычислим биномиальные коэффициенты:

$\binom{x}{2} = \frac{x(x-1)}{2}$ $\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ $\binom{3}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$

Подставляем значения:

$\frac{x(x-1)}{2} + 10 + 3 = 41$

Упростим уравнение:

$\frac{x(x-1)}{2} + 13 = 41$ $x(x-1) + 26 = 82$ $x^2 - x - 56 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение:

$x^2 - x - 56 = (x - 8)(x + 7) = 0$

Отсюда получаем два решения: $x = 8$ или $x = -7$. Поскольку нельзя иметь отрицательное количество шаров, ответ: в ящике было $8$ белых шаров.