Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y= 4х-х² , y =5, x=3, х =0.​

Answer 1

Решение:

Вычислим определённый интеграл. Это и будет ответом.

$\displaystyle \int\limits^3_0 {-4x+x^2+5} \, dx =-\int\limits {4x} \, dx +\int\limits {x^2} \, dx +\int\limits {5} \, dx =(-2x^2+\dfrac{x^3}{3}+5x)\Big|^3_0 = \\ \\ =-18+9+15-(-2\cdot0+\dfrac{0}{3}+0)=-9+15+0=-(9-15)+0=6+0=6$

Ответ: $\Large{\boxed{S=6}}$ ед².

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, нужно найти точки их пересечения и затем найти площадь между этими кривыми.

1. Найдем точки пересечения линий y = 4x - x² и y = 5: Подставим y = 5 в уравнение первой линии: 5 = 4x - x². Получим квадратное уравнение: x² - 4x + 5 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, следовательно, линии y = 4x - x² и y = 5 не пересекаются на действительной плоскости.

2. Площадь фигуры между y = 4x - x² и x = 3: Для начала, найдем точки пересечения линии y = 4x - x² и вертикальной линии x = 3. Подставим x = 3 в уравнение y = 4x - x²: y = 4 * 3 - 3² = 12 - 9 = 3.

Таким образом, точка пересечения этих линий: (3, 3).

Теперь мы можем вычислить площадь между кривой y = 4x - x² и вертикальной линией x = 3. Это будет интеграл от функции y = 4x - x² по переменной y в интервале от y = 3 до y = 5:

S = ∫[3, 5] (4x - x²) dy.

Вычислим этот интеграл: S = ∫[3, 5] (4x - x²) dy S = [4xy - (x²)y] |[3, 5] S = [4x(5) - (x²)(5)] - [4x(3) - (x²)(3)] S = (20x - 5x²) - (12x - 3x²) S = 20x - 5x² - 12x + 3x² S = 8x - 2x².

Теперь, чтобы вычислить окончательное значение площади, нам необходимо подставить x = 3 (так как наше интервал был от x = 0 до x = 3): S = 8(3) - 2(3)² S = 24 - 18 S = 6.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4x - x², y = 5, x = 3 и x = 0, равна 6 квадратным единицам.