Question

Определи площадь фигуры, ограниченной линиями y=х, y=5-х, x=0, x=2.

Answer 1

Ответ:

$y=x\ ,\ \ y=5-x\ ,\ \ x=0\ ,\ \ x=2\\\\S=\int\limits^2_0\, (5-x-x)\, dx=\int\limits^2_0\, (5-2x)\, dx=\Big (5x-2\cdot \dfrac{x^2}{2}\Big)\Big|_0^2=10-4=6$

Answer 2

Для определения площади фигуры, ограниченной данными линиями, мы можем использовать метод интеграции. Данная фигура представляет собой треугольник, ограниченный линиями y = x, y = 5 - x и отрезками x = 0 и x = 2.

Первым шагом мы можем найти точки пересечения линий y = x и y = 5 - x. Приравняем уравнения:

x = 5 - x 2x = 5 x = 2.5

Таким образом, точка пересечения находится в (2.5, 2.5).

Фигура состоит из двух треугольников: один с вершинами в точках (0, 0), (2.5, 2.5) и (0, 5), и другой с вершинами в точках (2.5, 2.5), (2, 0) и (0, 5).

Для вычисления площади треугольника, можно воспользоваться формулой площади треугольника через полупериметр и радиусы вписанной и описанной окружностей:

Площадь треугольника = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

где s - полупериметр, a, b, c - длины сторон треугольника.

Для треугольника (0, 0), (2.5, 2.5), (0, 5):

a = 2.5 (расстояние между (0, 0) и (2.5, 2.5)) b = sqrt((2.5 - 0)^2 + (5 - 0)^2) = sqrt(6.25 + 25) = sqrt(31.25) c = 5 (расстояние между (2.5, 2.5) и (0, 5)) s = (a + b + c) / 2 = (2.5 + sqrt(31.25) + 5) / 2

Подставив значения в формулу, можно найти площадь этого треугольника.

Для треугольника (2.5, 2.5), (2, 0), (0, 5):

a = 2.5 (расстояние между (2.5, 2.5) и (2, 0)) b = 2 (расстояние между (2, 0) и (0, 5)) c = sqrt((2.5 - 0)^2 + (2.5 - 5)^2) = sqrt(6.25 + 6.25) = sqrt(12.5) s = (a + b + c) / 2 = (2.5 + 2 + sqrt(12.5)) / 2

Подставив значения в формулу, можно найти площадь этого треугольника.

Итак, площадь фигуры равна сумме площадей обоих треугольников.