Question

Знайдіть значення cos 2α, якщо tg α = – 0,5.

Answer 1

Запишем следствие из основного тригонометрического тождества, из которого выразим квадрат косинуса:

$1+\mathrm{tg}^2\alpha =\dfrac{1}{\cos^2\alpha }$

$\cos^2\alpha =\dfrac{1} {1+\mathrm{tg}^2\alpha}$

Распишем формулу косинуса двойного угла, в которую подставим только что полученное соотношение:

$\cos2\alpha =2\cos^2\alpha -1=\dfrac{2} {1+\mathrm{tg}^2\alpha}-1=\dfrac{2} {1+(-0.5)^2}-1=\dfrac{2} {1+0.25}-1=0.6$

Ответ: 0.6

Answer 2

Ми маємо відомість, що $\tan \alpha = -0.5$. Давайте використаємо тригонометричні ідентичності, щоб виразити $\cos 2\alpha$ через $\tan \alpha$.

Почнемо з ідентичності для подвійного кута: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

Тепер виразимо $\sin^2 \alpha$ через $\cos \alpha$ і $\tan \alpha$: $\sin^2 \alpha = (1 - \cos^2 \alpha)$

Замінюючи $\sin^2 \alpha$ у першій ідентичності, маємо: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha)$

Підставимо значення $\tan \alpha = -0.5$. Для цього візьмемо праву трикутник зі стороною $-1$ та протилежною стороною $0.5$, звідки випливає, що гіпотенуза дорівнює $\sqrt{1^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{1.25}$.

З отриманими значеннями, ми можемо знайти $\cos \alpha$ і $\sin \alpha$: $\cos \alpha = \frac{\text{прилегла сторона}}{\text{гіпотенуза}} = \frac{-1}{\sqrt{1.25}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ $\sin \alpha = \frac{\text{протилежна сторона}}{\text{гіпотенуза}} = \frac{0.5}{\sqrt{1.25}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Підставимо ці значення в вираз для $\cos 2\alpha$: $\cos 2\alpha = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{4}{5} - \frac{5}{25} = \frac{20 - 5}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

Отже, $\cos 2\alpha = \frac{3}{5}$.