Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке f(x)=2x3+9x2+24x [-2;1]

Answer 1

Решение:

Заметим, что функция монотонно возрастает на всей своей области определения ($D(f) = \mathbb R$).

Убедиться в этом можно и при помощи производной:

$\Big (f(x) \Big )' = \Big (2x^3+9x^2+24x \Big ) ' = 6x^2 + 18x + 24$

Оказывается, что таких точек, где производная равна нолю, не существует (во всяком случае, в области действительных чисел):

$6x^2 + 18x + 24 = 0 \\x^2 + 3x + 4 = 0\\D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = - 7$

Из этого следует, что максимальное значение функции на промежутке $[ \; -2; \; 1 \; ]$ достигается при $x = 1$:

$f(1) = 2 \cdot 1^3 + 9 \cdot 1^2 + 24 \cdot 1 = 2 + 9 + 24 = 35$

А минимальное - при $x = -2$:

$f(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 9 \cdot (-2)^2 + 24 \cdot (-2) = -16 + 36 - 48 = -28$

Задача решена!

Ответ:

максимальное значение:   35 ;

минимальное значение:   - 28 .

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 24x на отрезке [-2, 1] мы можем воспользоваться методом дифференцирования. Сначала найдем производную функции f'(x) и определим, где она равна нулю. Эти точки будут потенциальными экстремумами (максимумами и минимумами) функции на заданном отрезке.

Вычислим производную f'(x): f'(x) = d/dx (2x^3 + 9x^2 + 24x) = 6x^2 + 18x + 24

Теперь найдем точки, где производная равна нулю: 6x^2 + 18x + 24 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать дискриминант: D = b^2 - 4ac a = 6, b = 18, c = 24

D = 18^2 - 4 * 6 * 24 = 324 - 576 = -252

Дискриминант отрицательный, что означает, что уравнение не имеет действительных корней. Это говорит нам о том, что наша функция f(x) не имеет экстремумов внутри заданного отрезка [-2, 1].

Следовательно, наименьшего и наибольшего значений функции f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 24x на отрезке [-2, 1] нет.