Question

Упростите выражения : sina/1-cosa - 1+cosa/sina

Answer 1

$\frac{Sin\alpha}{1-Cos\alpha}-\frac{1+Cos\alpha}{Sin\alpha}=\frac{Sin\alpha*Sin\alpha-(1-Cos\alpha)(1+Cos\alpha)}{Sin\alpha(1-Cos\alpha)}=\frac{Sin^{2}\alpha-1+Cos^{2}\alpha}{Sin\alpha(1-Cos\alpha)}=\frac{1-1}{Sin\alpha(1-Cos\alpha)}=\\=\frac{0}{Sin\alpha(1-Cos\alpha)}=0\\\\Otvet:\boxed{0}$

Answer 2

Давайте разберём это выражение по частям и постепенно упростим:

Выражение: $\frac{\sin(a)}{1 - \cos(a)} - \frac{1 + \cos(a)}{\sin(a)}$

1. Приведём оба дробных слагаемых к общему знаменателю $\sin(a)\cdot(1 - \cos(a))$:

$\frac{\sin(a) \cdot \sin(a) - (1 + \cos(a)) \cdot (1 - \cos(a))}{\sin(a) \cdot (1 - \cos(a))}$

2. Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $\sin^2(a) - (1 - \cos^2(a)) = \sin^2(a) - 1 + \cos^2(a) = 2\cos^2(a) - 1$

Знаменатель: $\sin(a) \cdot (1 - \cos(a))$

Теперь выражение стало: $\frac{2\cos^2(a) - 1}{\sin(a) \cdot (1 - \cos(a))}$

3. Далее, мы можем разложить числитель на множители с помощью тригонометрической тождества $2\cos^2(a) - 1 = \cos(2a)$:

$\frac{\cos(2a)}{\sin(a) \cdot (1 - \cos(a))}$

4. Мы видим, что здесь есть общий множитель $\cos(a)$ в числителе и знаменателе дроби. Можем сократить его:

$\frac{\cos(2a)}{\sin(a) \cdot (1 - \cos(a))} = \frac{\cos(2a)}{\sin(a) - \sin(a) \cdot \cos(a)}$

5. Мы можем факторизовать знаменатель дроби и сократить на $\sin(a)$:

$\frac{\cos(2a)}{\sin(a) \cdot (1 - \cos(a))} = \frac{\cos(2a)}{\sin(a) \cdot \sin(90° - a)}$

6. В знаменателе у нас есть произведение синусов двух углов. Мы можем воспользоваться тригонометрической формулой синуса двойного угла $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$:

$\frac{\cos(2a)}{\sin(a) \cdot \sin(90° - a)} = \frac{\cos(2a)}{2\sin(a)\cos(a)}$

7. Осталась пара сокращений:

$\frac{\cos(2a)}{2\sin(a)\cos(a)} = \frac{\cos(a)}{2\sin(a)}$

Таким образом, исходное выражение $\frac{\sin(a)}{1 - \cos(a)} - \frac{1 + \cos(a)}{\sin(a)}$ упрощается до $\frac{\cos(a)}{2\sin(a)}$.