Question

1. Вершинами треугольника являются точки А(3;2;0), В(7;0;4), С(0;1;6). Найти косинус угла А.

Answer 1

Ответ:

$cos(\alpha ) = \frac{7\sqrt{46} }{138}$

Объяснение:

Угол А - это угол между прямыми АВ и АС. Составим их уравнения.

(AB) :  $\frac{x-3}{7-3}=\frac{y-2}{0-2}=\frac{z-0}{4-0}$

$\frac{x-3}{4}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{4}$

(AC) : $\frac{x-3}{0-3}=\frac{y-2}{1-2}=\frac{z-0}{6-0}$

$\frac{x-3}{-3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{6}$

Косинус угла между ними

$cos (\alpha )=\frac{|x_1*x_2+y_1*y_2+z_1*z_2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}*\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2} }$

Здесь x1, x2, y1, y2, z, z2 - это коэффициенты в знаменателях.

$cos(\alpha ) =\frac{|4(-3)+(-2)(-1)+4*6|}{\sqrt{4^2+(-2)^2+4^2}*\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+6^2} } =\frac{|-12+2+24|}{\sqrt{16+4+16}*\sqrt{9+1+36} }\\ =\frac{14}{\sqrt{36} \sqrt{46} } =\frac{14}{6\sqrt{46} }=\frac{7\sqrt{46} }{3*46}=\frac{7\sqrt{46} }{138}$

Answer 2

Для нахождения косинуса угла А между векторами AB и AC мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}{\|\mathbf{AB}\| \cdot \|\mathbf{AC}\|},$

где $\mathbf{AB}$ - вектор между точками A и B, $\mathbf{AC}$ - вектор между точками A и C, $\theta$ - угол между векторами, $\cdot$ - скалярное произведение векторов, $\| \mathbf{AB} \|$ и $\| \mathbf{AC} \|$ - длины векторов AB и AC соответственно.

Давайте начнем с вычисления векторов AB и AC:

$\mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (7 - 3, 0 - 2, 4 - 0) = (4, -2, 4),$ $\mathbf{AC} = \mathbf{C} - \mathbf{A} = (0 - 3, 1 - 2, 6 - 0) = (-3, -1, 6).$

Теперь найдем длины векторов AB и AC:

$\| \mathbf{AB} \| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{36} = 6,$ $\| \mathbf{AC} \| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + 6^2} = \sqrt{46}.$

И наконец, вычислим скалярное произведение векторов AB и AC:

$\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = 4 \cdot -3 + (-2) \cdot -1 + 4 \cdot 6 = -12 + 2 + 24 = 14.$

Теперь мы можем подставить все значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\theta) = \frac{14}{6 \cdot \sqrt{46}} \approx 0.2417.$

Итак, косинус угла А примерно равен 0.2417.