Question

Используя определение обратной матрицы , докажите что (A^-1)^2= (A^2)^-1

Answer 1

$(A^{-1})^2=(A^2)^{-1}\\ A^2(A^{-1})^2=A^2(A^2)^{-1}\\ AAA^{-1}A^{-1}=E\\ A(AA^{-1})A^{-1}=E\\ AEA^{-1}=E\\ AA^{-1}=E\\E=E$

Ч.т.д.

Answer 2

Для начала, давайте напомним определение обратной матрицы. Пусть у нас есть квадратная матрица A порядка n, и существует матрица B такая, что их произведение даёт единичную матрицу:

A * B = B * A = I,

где I - единичная матрица порядка n.

Теперь мы хотим доказать, что (A^-1)^2 = (A^2)^-1. Для этого давайте начнем с определения обратной матрицы:

A * A^-1 = A^-1 * A = I.

Умножим обе стороны на A:

A^2 * A^-1 = A^-1 * A^2 = A.

Теперь мы хотим показать, что (A^-1)^2 = (A^2)^-1. Начнем с левой стороны:

(A^-1)^2 = A^-1 * A^-1.

Мы знаем, что A^2 * A^-1 = A, поэтому можем умножить обе стороны на A^-1:

A * A^-1 * A^-1 = A^-1.

Теперь мы видим, что A * A^-1 * A^-1 = A^-1 * A^2 * A^-1, и мы можем переставить сомножители в центре:

A * (A^-1 * A^-1) = (A^-1 * A^2) * A^-1.

Заметим, что A * (A^-1 * A^-1) = A * (A^-1)^2, и (A^-1 * A^2) * A^-1 = (A^-1 * A^2 * A^-1), поэтому:

A * (A^-1)^2 = (A^-1 * A^2) * A^-1.

Мы знаем, что левая сторона равна A^-1, а правая сторона равна A^-1, и это означает, что (A^-1)^2 = (A^-1 * A^2) * A^-1.

Далее, мы можем умножить обе стороны на (A^-1)^-1 (то есть, обратную матрицу к A^-1):

(A^-1)^2 = (A^-1 * A^2) * A^-1. (A^-1)^2 * (A^-1)^-1 = (A^-1 * A^2) * A^-1 * (A^-1)^-1.

Так как (A^-1)^-1 = A (обратная к обратной матрице даёт исходную матрицу), мы получаем:

(A^-1)^2 * A = A^-1 * A^2. A^-1 * A = (A^2)^-1.

Таким образом, мы доказали, что (A^-1)^2 = (A^2)^-1, используя определение обратной матрицы и свойства матричного умножения.