Question

Найти общее решение уравнения: (1+y)dx=(x-1)dy

Answer 1

$(1+y)dx=(x-1)dy\\ \\ \int \frac{dy}{1+y}=\int \frac{dx}{x-1}\\ \\ \ln|1+y|=\ln|x-1|+\ln C\\ \\ y+1=C(x-1)\\ \\ y=C(x-1)-1$

Answer 2

Данное уравнение можно решить методом разделяющихся переменных. Давайте начнем с него:

(1+y)dx = (x-1)dy

Разделим обе стороны на (1+y) и dy:

dx/(1+y) = dy/(x-1)

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1/(1+y)) dx = ∫(1/(x-1)) dy

Интеграл левой стороны можно взять, используя замену переменной. Пусть z = 1+y, тогда dz = dy:

∫(1/z) dx = ∫(1/(x-1)) dz

ln|z| = ln|x-1| + C₁, где C₁ - произвольная постоянная интегрирования.

Вернемся к переменной y, используя z = 1+y:

ln|1+y| = ln|x-1| + C₁

Теперь возведем обе стороны в экспоненту e:

|1+y| = e^(ln|x-1| + C₁)

|1+y| = e^(C₁) * |x-1|

Так как C₁ - произвольная постоянная, то e^(C₁) тоже является положительной константой, которую мы можем обозначить как C₂:

|1+y| = C₂ * |x-1|

Рассмотрим два случая:

1. Если 1 + y > 0 (то есть y > -1), тогда уравнение становится:

1 + y = C₂ * (x - 1)

2. Если 1 + y < 0 (то есть y < -1), тогда уравнение становится:

1 + y = -C₂ * (x - 1)

В обоих случаях выразим y:

1. y = C₂ * (x - 1) - 1

2. y = -C₂ * (x - 1) + 1

Таким образом, общее решение исходного уравнения:

y(x) = C₂ * (x - 1) - 1, если y > -1, или y(x) = -C₂ * (x - 1) + 1, если y < -1,

где C₂ - произвольная постоянная.