Question

Три положительных числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии . Если среднее число уменьшить на 40% , то получится три последовательных члена геометрической прогрессии , сумма которых равна 39.Найдите среднее число

Answer 1

Обозначим искомые члены $a_1, \; a_2, \; a_3.$

Член арифм. прогрессии является средним арифм. его соседних членов:

$2a_2=a_1+a_3$

Уменьшенное среднее число - это $\dfrac{100-40}{100}a_2=\dfrac{6}{10}a_2=\dfrac{3}{5}a_2$.

Найдем $a_2$ из суммы:

$(a_1+a_3)+\dfrac{3}{5}a_2=39\\\\\dfrac{3}{5}a_2+2a_2=39\\\\\dfrac{13}{5}a_2=39\\\dfrac{1}{5}a_2=3\\a_2=15$

P. S. Если что - два других числа это 27 и 3 (в любом порядке).

Answer 2

Пусть три последовательных члена арифметической прогрессии равны a, a+d и a+2d, где "d" - это разность между членами арифметической прогрессии.

Согласно условию, если среднее число (a+d) уменьшить на 40%, то получится три последовательных члена геометрической прогрессии. Эти члены будут (a+d), (0.6)(a+d) и (0.36)(a+d), так как среднее число уменьшилось на 40%, а каждое следующее число умножается на 0.6, чтобы получить геометрическую прогрессию.

Сумма трех членов геометрической прогрессии равна:

(a+d) + (0.6)(a+d) + (0.36)(a+d) = 39.

Упростим уравнение:

1.96(a+d) = 39.

Теперь вернемся к арифметической прогрессии:

a + (a+d) + (a+2d) = 3a + 3d.

Так как среднее число уменьшилось на 40%, то среднее число в арифметической прогрессии будет (0.6)(a+d).

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 1.96(a+d) = 39,
2. (0.6)(a+d) = 3a + 3d.

Мы можем решить систему уравнений, чтобы найти "a" и "d", а затем найти среднее число:

Из уравнения 2):

0.6(a+d) = 3a + 3d, 0.6a + 0.6d = 3a + 3d, 0.4a = 2.4d, a = 6d.

Теперь подставим это в уравнение 1):

1.96(6d+d) = 39, 1.96(7d) = 39, 13.72d = 39, d = 39 / 13.72, d ≈ 2.843.

Теперь найдем "a":

a = 6d ≈ 17.058.

Среднее число в арифметической прогрессии: a + d ≈ 17.058 + 2.843 ≈ 19.901.

Итак, среднее число равно примерно 19.901.