Question

Найдите все значения параметра а, для каждого из которых уравнение имеет хотя бы один корень x^10 +(a-3x)^5 +x^2 +a=3x

Answer 1

Ответ:

$a \in (-\infty; \ 2.25)$

Объяснение:

$></p> <p>Заметим, что левая и правая часть имеет общую структуру в виде функции:</p> <p><img src=$

исследуем эту функцию на монотонность с помощью производной:

$f'(t)=5t^4+1$

так как t⁴ не может принимать отрицательные значения, (то есть t⁴≥0 при любых действительных t) значит 5t⁴+1>0 при любых действительных t

если f'(t)>0, то f(t) - возрастающая функция на всей координатной оси.

Для монотонных функций справедливо:

$f(a)=f(b) \ \Leftrightarrow \ a=b$

в нашем случае:

$f(x^2)=(x^2)^5+x^2=x^{10}+x^2 \\ \\ f(3x-a)=(3x-a)^5+3x-a \\ \\ f(x^2)=f(3x-a) \ \Leftrightarrow \ x^2=3x-a \\ \\ x^2-3x+a=0$

Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если дискриминант не отрицателен

$D\geq 0 \\ (-3)^2-4*1*a\geq 0 \\ 9-4a\geq 0 \\ 4a\leq 9 \\ a\leq 9/4 \\ a\leq 2.25$

Answer 2

Дано уравнение: $x^{10} + (a - 3x)^5 + x^2 + a = 3x$

Чтобы найти все значения параметра $a$, для которых уравнение имеет хотя бы один корень, нужно проанализировать уравнение и понять, при каких условиях оно будет иметь корни. Обратите внимание, что это довольно сложное уравнение высокой степени, и его аналитическое решение может быть довольно сложным.

Мы можем попробовать различные подходы:

1. Анализ степеней: Уравнение содержит члены $x^{10}$, $x^5$, $x^2$ и $x$. Это может навести на мысль о том, что уравнение может иметь какие-то корни, когда степени совпадают.

2. Рассмотрение пределов: Мы можем также проанализировать уравнение, когда $x$ стремится к бесконечности и к нулю, чтобы определить, есть ли какие-либо особенные значения $a$, при которых уравнение имеет корни.

3. Графический метод: Мы можем построить график левой и правой частей уравнения в координатной плоскости и посмотреть, где они пересекаются.

Но поскольку аналитическое решение уравнения может быть сложным, давайте попробуем использовать графический метод, чтобы получить представление о том, какие значения $a$ могут быть подходящими.

Как только у нас есть представление о том, какие значения $a$ могут подходить, мы можем попробовать анализировать их более тщательно для получения точных значений.