Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3, y = 2x, y = x

Answer 1

Ответ:

$y=x^3\ ,\ \ y=2x\ ,\ \ y=x\\\\x^3=2x\ ,\ \ x(x^2-2)=0\ \ ,\ \ x_1=0\ ,\ \ x_{2,3}=\pm \sqrt2\\\\x^3=x\ \ ,\ \ x(x^2-1)=0\ \ ,\ \ x_1=0\ ,\ x_2=\pm 1\\\\\\S=2\int\limits^1_0\, \Big(2x-x\Big)dx+2\int\limits^{\sqrt2}_1\, \Big(2x-x^3\Big)dx=2\cdot \Big(x^2-\dfrac{x^2}{2}\Big)\Big|_0^1+2\cdot \Big(x^2-\dfrac{x^4}{4}\Big)\Big|_1^{\sqrt2}=\\\\\\=2\cdot \Big(1-\dfrac{1}{2}\Big)+2\cdot \Big(2-1-1+\dfrac{1}{4}\Big)=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$

Answer 2

Объяснение: смотрите график и решение во вложении

Answer 3

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными кривыми, нужно вычислить интеграл разности между верхней и нижней функциями по переменной x в пределах, где они пересекаются.

Сначала найдем точки пересечения данных кривых:

1. y = x^3 и y = 2x: Подставим уравнения друг в друга: x^3 = 2x x^2 = 2 x = ±√2

2. y = 2x и y = x: Подставим уравнения друг в друга: 2x = x x = 0

Теперь у нас есть три точки пересечения: (-√2, -√2), (0, 0) и (√2, √2).

Для нахождения площади между кривыми в пределах этих точек, мы можем воспользоваться определенным интегралом:

$S = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$,

где f(x) - верхняя функция (большая y-координата), g(x) - нижняя функция (меньшая y-координата), a и b - пределы интегрирования (x-координаты точек пересечения).

Для нашей задачи: $S = \int_{-\sqrt{2}}^{0} (2x - x^3) dx + \int_{0}^{\sqrt{2}} (x^3 - x) dx$

Вычислим эти интегралы:

$\int_{-\sqrt{2}}^{0} (2x - x^3) dx = \left[x^2 - \frac{x^4}{4}\right]_{-\sqrt{2}}^{0} = 0 - \left[\frac{(-\sqrt{2})^4}{4}\right] = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{\sqrt{2}} (x^3 - x) dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}^4}{4} - \frac{2\sqrt{2}^2}{2} = 2 - \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, общая площадь между данными кривыми составляет $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ или 1.5 квадратных единиц.