Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=arcsin2x, x=0, y= -π/2

Answer 1

Ответ:

$y=arcsin2x\ \ ,\ \ x=0\ \ ,\ \ y=-\dfrac{\pi}{2}\\\\-1\leq 2x\leq 1\ \ \to \ \ -\dfrac{1}{2}\leq x\leq \dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ \ -\dfrac{\pi}{2}\leq arcsin2x\leq \dfrac{\pi }{2}\\\\\\S=\int\limits_0^{1/2}\Big(\dfrac{\pi}{2}-arcsin2x\Big)\, dx=\int \limits _0^{1/2}\dfrac{\pi}{2}\, dx-\int\limits_0^{1/2}\, arcsin2x\, dx=\\\\\\=\Big[u=arcsin2x\ ,\ du=\dfrac{2\, dx}{\sqrt{1-4x^2}}\ ,\ dv=dx\ ,\ v=x\ \Big]=$

$=\dfrac{\pi}{2}\cdot x\Big|^{1/2}_0-x\cdot arcsin2x\Big|^{1/2}_0+\int\limits_0^{1/2}\, \dfrac{2x\, dx}{\sqrt{1-4x^2}}=\Big[\ d(1-4x^2)=-8x\, dx\ \Big]=\\\\\\=\dfrac{\pi}{2}(0+\dfrac{1}{2})-\dfrac{1}{2}\cdot arcsin1-\dfrac{1}{4}\int\limits_0^{1/2}\, \dfrac{d(1-4x^2)}{\sqrt{1-4x^2}}dx=\\\\\\=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\cdot 2\sqrt{1-4x^2}\Big|^{1/2}_0=-\dfrac{1}{2}\cdot (0-\sqrt1)=\dfrac{1}{2}$

Answer 2

Объяснение: см. во вложении

Answer 3

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями y = arcsin(2x), x = 0 и y = -π/2, нужно вычислить интеграл от функции y = arcsin(2x) в заданных пределах.

Сначала определим интервал, на котором будем интегрировать. Так как x = 0 задает левую границу, нам нужно найти максимальное значение x, при котором y = arcsin(2x) остается внутри ограничений. В данном случае ограничение по y является более строгим, так как y = arcsin(2x) не может выходить за пределы интервала [-π/2, π/2].

Для этого решим уравнение: arcsin(2x) = -π/2

2x = sin(-π/2)

2x = -1

x = -0.5

Итак, интервал интегрирования для x будет [-0.5, 0].

Теперь мы можем вычислить интеграл от y = arcsin(2x) по этому интервалу:

Площадь = ∫[a, b] y dx, где a = -0.5 и b = 0

Площадь = ∫[-0.5, 0] arcsin(2x) dx

Так как вычисление этого интеграла может быть нетривиальным, я могу попробовать выразить его через интеграл от элементарных функций или численно вычислить. Пожалуйста, уточните, какой метод вы предпочли бы использовать.